Powstało więc pytanie, jak – niezależnie od odwoływania się do Natury – można stwierdzić poprawność teorii. Rozwiązanie przyniosła lekka modyfikacja tego pytania przez Felixa Kleina: zapytał on

I odpowiedział na to pytanie: jeśli w teorii  można zbudować model teorii  to teoria  jest co najmniej tak samo poprawna, jak teoria

Po czym zbudował (w 1870 roku) model geometrii powstającej przez dołączenie do czterech początkowych postulatów Euklidesa zaprzeczenia piątego postulatu w geometrii euklidesowej (model Kleina) oraz w tej geometrii model geometrii euklidesowej (horysfera). W ten sposób wykazał, że obie geometrie są jednakowo poprawne.

A filozoficzny problem istnienia dwu teorii opisujących ten sam obiekt został niewiele później rozstrzygnięty według pomysłu fizyka, Hermanna Helmholtza, który w pracy O faktach, które leżą u podstaw geometrii zaproponował, by matematyki nie uważać za naukę przyrodniczą, lecz za skrzynkę z narzędziami do uprawiania nauk przyrodniczych.

Model Kleina

Do wskazania błędów w przytoczonych dowodach V postulatu potrzebny będzie nam – rzecz jasna – tylko pierwszy z modeli zbudowanych przez Kleina. Oto on.

• Płaszczyzną będzie wnętrze koła (bez brzegu! – oznaczmy ten brzeg ).
• Prostymi będą cięciwy tego koła (oczywiście, bez końców).
• Proste będą prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy przedłużenie jednej z nich przechodzi przez punkt przecięcia stycznych do  w końcach drugiej (okazuje się, że jest to relacja symetryczna) lub gdy jedna z nich przechodzi przez środek koła, a druga jest euklidesowo do niej prostopadła.

To określa model całkowicie, a wynika z tego, między innymi, że

• odległość punktów  i   to
  
  gdzie  i   to końce prostej  to euklidesowa długość odcinka  a   jest dowolnie ustaloną stałą dodatnią;
• punkty równoodległe od prostej tworzą elipsę styczną do  w końcach tej prostej;
• kąt między prostymi to euklidesowy kąt, jaki tworzą okręgi prostopadłe do  i przechodzące przez końce tych prostych.

Rys. 1

Czytelnik Ciekawski może z tego wyprowadzić wszelkie własności tej nieeuklidesowej geometrii zwanej geometrią Bolyaia–Łobaczewskiego na cześć dwóch odważnych matematyków, którzy pierwsi uparli się, że taka geometria istnieje (lub geometrią hiperboliczną ze względu na jej analityczne własności). My zauważymy wstępnie, że nie jest w niej spełniony V postulat: przez punkt  poza prostą  przechodzi nieskończenie wiele prostych z nią rozłącznych (Rys. 1). O tych dwu, które mają z   wspólne końce, mówimy, że są do  równoległe, o pozostałych – że są nadrównoległe.

---

Na czym polegały błędy?

Już z oglądu rysunku 1 można stwierdzić, że Saccheri żadnego błędu matematycznego nie popełnił – w geometrii Bolyaia–Łobaczewskiego (B–Ł) proste równoległe są asymptotyczne. Mylił się tylko w intuicji, że takie coś prostym przydarzyć się nie może. Faktycznie jego praca Euclides ab omni naevo vindicatus była pierwszą pracą z geometrii B–Ł, ale o tym przekonano się dopiero dwa wieki później.

Rys. 2

Legendre popełnił – można powiedzieć – pół błędu: pierwsza część jego dowodu, gdy wykazuje, że suma kątów trójkąta w geometrii absolutnej nie może być większa od  jest poprawna. Uzyskany wynik dziś nazywa się twierdzeniem Saccheriego–Legendre’a, bo i u Saccheriego można znaleźć podobne rozumowanie.

Natomiast dowód, że nie ma trójkątów o sumie kątów mniejszej od  korzysta ze zdawałoby się oczywistej przesłanki: przez punkt wewnątrz kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba jego ramiona. Jej fałszywość widać na rysunku 2 Kolorowa prosta jest równoległa do obu ramion kąta – nazywa się ją prostą zagradzającą. Zacieniowany obszar za nią składa się – co łatwo sprawdzić linijką – z punktów, przez które nie można poprowadzić prostej przecinającej oba ramiona kąta (punkty  i   z dowodu Legendre’a mogą nie istnieć).

Rys. 3

Sprawa z dowodem Farkasa Bolyaia jest (chyba) prostsza, choć obrazek będzie większy. Okazuje się bowiem, że w geometrii B–Ł istnieją trójkąty, na których nie można opisać okręgu – po prostu symetralne ich boków nie przecinają się! Pokazuje to rysunek 3

Nieprzecinające się proste  i   będą symetralnymi trójkąta, który buduje się tak. Bierzemy między nimi jakiś punkt  i rysujemy elipsy przechodzące przez ten punkt i styczne do  odpowiednio w końcach prostych  i   – są to linie, które składają się z punktów odległych tak jak  odpowiednio od prostej  i   (druga czarna kropka na poprzedniej stronie) – zatem  jest środkiem  a   środkiem  Każda prosta, której przedłużenie przechodzi przez  (przez ), jest prostopadła do  (do ) – trzecia kolorowa kropka. Zatem  jest symetralną  a   symetralną  Wobec tego na trójkącie  nie można opisać okręgu.

Inne zdania równoważne V postulatowi

Zatem każde ze zdań

• przez punkt wewnętrzny kąta wypukłego można poprowadzić prostą przecinającą oba ramiona kąta;
• na trójkącie można opisać okrąg;

jest równoważne V postulatowi na gruncie początkowych czterech.

Czytelnik Zainteresowany sprawdzi, że podobnie jest ze zdaniami:

• istnieją nieprzystające trójkąty podobne;
• na płaszczyźnie każda prosta przecina przynajmniej jedną z przecinających się prostych;
• istnieją trzy współliniowe punkty jednakowo odległe od danej prostej;
• odległość punktów zorientowanej prostej od innej prostej jest funkcją monotoniczną;
• odległość punktów prostej od współpłaszczyznowej i rozłącznej z nią prostej jest ograniczonado wyboru: z góry lub z dołu);
• istnieje prostokąt;
• wysokości trójkąta przecinają się

itd.