Delta mi!

W stosunku do wielkości Ziemi wszystkie ziemskie nierówności (łańcuchy górskie, doliny) to znikome, zaniedbywalne zniekształcenia. Ponieważ w naszej skali nasze bliskie otoczenie przypomina płaską powierzchnię, więc nie powinno nas dziwić, że pierwsze geometryczne rozważania dotyczyły płaszczyzny.

Stworzenie papierowego modelu płaszczyzny hiperbolicznej, o czym piszemy w tym numerze Delty, wymaga nieco umiejętności manualnych. Papierowy model, niestety, ma bardzo poważną wadę: jest podatny na uszkodzenia. Dlatego prezentujemy konkurencyjny sposób produkcji płaszczyzny hiperbolicznej, zaproponowany po raz pierwszy przez Dainę Taiminę w 2001 roku. Pani Taimina, obserwując uczestników warsztatów, jak cierpliwie łączą papier taśmą klejącą, wymyśliła sposób na porządną i trwałą płaszczyznę hiperboliczną. Ten sposób wymaga szydełka, podstawowej umiejętności liczenia i znajomości zaledwie dwóch ściegów: łańcuszka i półsłupka.

Od czasów starożytnych Greków wiadomo, że jest pięć brył foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. W każdym wierzchołku może się spotkać 3, 4 lub 5 trójkątów, 3 czworokąty lub 3 pięciokąty. Dużo później skompletowano wielościany półforemne, jednak i tu w żadnym z nich nie pojawia się siedmiokąt. Spróbujmy dać mu szansę...

Znany jest wzór na sumę kątów w trójkącie:

Dotyczy on oczywiście trójkątów na płaszczyźnie. Jaki związek ma płaskość (lub zakrzywienie) z powyższym wzorem? O tym za chwilę.

Ile wynosi suma wewnętrznych kątów w trójkącie? Kwestia ta nurtowała słynnego matematyka Carla Gaussa na tyle, że zadał sobie trud wspinania się na górskie szczyty. Jak wiadomo szczyty są po to, by je zdobywać, jednak błędem alpinistów jest to, że tę piękną metaforę traktują dosłownie. Gauss jednak nie był alpinistą. Chodził po górach nie po to, by "zdobywać szczyty", lecz po to, by przy użyciu urządzeń geodezyjnych mierzyć sumę kątów w gigantycznych trójkątach utworzonych z trzech odległych alpejskich wierzchołków.

Najdłużej badanym problemem matematycznym była kwadratura koła. Zaraz za nią uplasowała się kwestia piątego postulatu Euklidesa. Chodziło o to, czy zdanie "jeśli dwie proste przecięte trzecią tworzą kąty wewnętrzne jednostronne o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych, to proste te po przedłużeniu przetną się i to właśnie z tej strony" spełnia wymagane dla postulatów warunki, czyli czy wyraża rzeczy jasne i oczywiste i czy jest dostatecznie zwięzłe, by być uznane za pierwotną prawdę. Debatę zapoczątkował w V wieku Proklos, odpowiadając dwukrotnie nie i proponując, by wykazać, że usunięcie tego postulatu gmachu geometrii nie naruszy.

Geometrzy od dawna marzyli o współrzędnych jednorodnych, czyli takich -tkach liczb (dalej dla uproszczenia będzie mowa o parach i trójkach) przyporządkowanych punktom, że gdy wszystkie liczby w -tce pomnożymy przez tę samą liczbę, to nowa -tka będzie współrzędnymi tego samego punktu.

Geometrię szkolną nazywamy euklidesową, bo jej pierwsze aksjomaty zostały podane w Elementach Euklidesa (około -300). Wśród nich wyróżniał się aksjomat mówiący o tym, że na płaszczyźnie przez punkt poza prostą można poprowadzić tylko jedną prostą z nią rozłączną. Zasugerowana przez Proklosa (V wiek) możliwość wyprowadzenia tego aksjomatu z pozostałych przez następne 1300 lat drażniła ambicje praktycznie wszystkich matematyków, co owocowało dowodami błędnymi (bo opartymi na przesłankach, które same nie miały dowodów).

Czysty zeszyt, cyrkiel, linijka, kątomierz, liniuszek - standardowy szkolny ekwipunek lekcji geometrii. Ale istnieją również inne geometrie, w których do konstrukcji figur nie jest potrzebne żadne oprzyrządowanie. Jedną z nich jest geometria dziewięciu punktów, gdzie bez linijki czy cyrkla można "konstruować" całkiem dokładnie koła, trójkąty i inne figury.

W poprzednim numerze Delty przedstawiłem trzy dowody V postulatu Euklidesa. Dla wszystkich Czytelników było jasne, że zawierają one błędy. Fakt, że mimo to każdy z nich przez pewien czas był uznany za poprawny, wskazuje na ogromny kłopot, jakim dla myślicieli – już niekoniecznie matematyków – było przyjęcie do wiadomości, że mogą istnieć dwie wykluczające się, ale poprawne, a więc w szczególności niesprzeczne teorie opisujące ten sam obiekt, w tym przypadku przestrzeń. A przecież przestrzeń, w której „odbywa się” Wszechświat, jest jedna.

Formułując szczególną teorię względności (STW) Einstein nie używał pojęcia czasoprzestrzeni – zbioru zdarzeń, operował oddzielnie pojęciami czasu i przestrzeni. Pojęcie czasoprzestrzeni pojawiło się podczas odczytu wygłoszonego w 1908 roku przez Hermanna Minkowskiego w Kolonii. Minkowski pokazał, że do opisu STW wygodnie jest posługiwać się szczególną czterowymiarową geometrią, nazwaną później jego nazwiskiem.

czyli geometryczny odpowiednik szczególnej teorii względności, to dzieło Hermanna Minkowskiego (1864–1909), u którego zresztą Einstein studiował na politechnice w Zurichu. Pierwsza publikacja na ten temat ukazała się w 1909 roku i to tak nieszczęśliwie, że zmarły nagle Minkowski jej nie zobaczył.