Najogólniej mówiąc, kombinatoryka ekstremalna zajmuje się pytaniami o to, jaki jest rozmiar największego (lub najmniejszego) możliwego zbioru obiektów danego typu, spełniającego pewien zadany warunek i jak takie ekstremalne przypadki wyglądają.
Każda nauka ścisła ma własne metody potwierdzania swoich tez. Dla większości z nich weryfikacja twierdzeń polega na konfrontacji z rzeczywistością. Matematyka jest jedyną z tych nauk, w której owa rzeczywistość nie jest ostateczną (ani jakąkolwiek) metodą sprawdzania zdań aspirujących do wzbogacenia zasobu wiedzy matematycznej. Weryfikatorem twierdzeń jest dowód. Mowa tu o tzw. matematyce czystej lub teoretycznej; zauważmy jednak, że fizyczna rzeczywistość weryfikuje stosowalność instrumentów matematycznych, nie ich wartość matematyczną.
Niektórzy znajdują co rano na progu swojego domu butelkę ze świeżym mlekiem. Kubuś Puchatek każdego ranka znajduje tam 
garnczków miodu. Garnczki są różnej wielkości i Kubuś każdego dnia stara się opróżniać je w innej kolejności...
Sztuka w trzech aktach z prologiem i epilogiem...
Wyobraźmy sobie następującą grę. Mamy planszę o polach ponumerowanych od 0 do 100 i dwa pionki, stojące na początku na polu o numerze 0. Gracze wykonują ruchy na przemian. Gracz rzuca monetą i jeśli wypadnie reszka, to przesuwa swój pionek o 1 pole, a jeśli orzeł – o 5 pól. Wygrywa ten, kto pierwszy dojdzie do pola o numerze 100.
Czy nieskończoność jest tylko jedna? Nie, istnieją różne, większe i mniejsze!
Często pojawiające się w matematyce zadanie polega na skonstruowaniu funkcji
spełniającej pewne warunki. Między innymi możemy chcieć, aby
funkcja ta była różnowartościowa i „na”, co gdyby miało miejsce, oznaczałoby
równoliczność zbiorów
i
Punktem wyjścia bywa inna funkcja
która potrzebnych warunków nie spełnia, ale wystarczy ją tylko trochę
zmienić.
Kombinatoryka zajmuje się własnościami zbiorów skończonych, w szczególności zagadnieniem zliczania elementów takich zbiorów. Czy może zatem w kombinatoryce znaleźć się miejsce dla nieskończoności? Okazuje się, że tak – pokażę jedno z takich zastosowań nieskończoności: funkcje tworzące...
Teoria Mnogości O tym, czego nie ma
Cóż prostszego, jak stworzyć zbiór z dowolnych prawdziwych lub wymyślonych obiektów! Czyż zbiór nie jest po prostu pewną konstrukcją myślową? Wystarczy zatem pomyśleć o owych obiektach jako o elementach jednego zbioru – i już.
Moja rodzina lubi pizzę, a ja lubię ją piec. Jednak w naszej gromadce nikt nie lubi jeść takiej samej pizzy, jak pozostali członkowie rodziny. Jest nas tylko czworo, więc można sobie z tym poradzić bez trudu, używając tylko dwóch składników – typowa pizza wygląda więc tak...
Jednym z podstawowych sposobów mierzenia zbioru jest liczenie jego elementów.
Liczenie ma jednak jasny sens tylko dla zbiorów skończonych. Wiadomo, co to znaczy,
że jakiś zbiór ma
czy
elementów. W przypadku
zbiorów nieskończonych sytuacja jest natomiast znacznie mniej oczywista. Czy
zbiorowi nieskończonemu da się w ogóle przypisać liczbę elementów sensowniej
niż przez uznanie, że wynosi ona zawsze
?