Delta mi!

W mieście Parzystkowo zacny burmistrz postanowił w nietypowy sposób zaktywizować społeczeństwo. Zarządził utworzenie stowarzyszeń, które wykonywać będą powierzone im zadania...

W pewnym zakładzie karnym przebywa stu skazanych, ponumerowanych liczbami od 1 do 100: Strażnik zaproponował im następującą grę: sto kartek z ich numerami umieszcza w stu skrytkach, po jednej kartce w każdej skrytce. Sposób rozmieszczenia kartek nie jest znany więźniom. Następnie strażnik pozwala każdemu z więźniów sprawdzić dokładnie połowę skrytek. Sprawdzający wchodzi do pokoju ze skrytkami sam, a po swojej turze musi zostawić pokój w stanie nienaruszonym i jedynie poinformować nadzorcę, czy odnalazł swój numer, czy też nie. Nie komunikuje się później z pozostałymi więźniami. Osadzeni wygrywają wyjście na wolność wtedy i tylko wtedy, gdy każdy z nich zdoła odnaleźć swój numer. Jaka jest szansa na to, że im się to uda?

W poprzednim odcinku zastanawialiśmy się, czy istnieje "nieskończoność" pomiędzy licznością zbioru liczb naturalnych i licznością zbioru liczb rzeczywistych. Pora na ostatni etap naszej podróży. Będzie to etap jeszcze dalej prowadzący w nieskończoność - będziemy rozważać i konstruować coraz większe "nieskończoności". Okaże się, że jest ich bardzo nieskończenie wiele. Może aż za bardzo.

W tym odcinku zajmiemy się hipotezą continuum.

W poprzedniej części tej opowieści o nieskończonościach rozważaliśmy twierdzenie Cantora, które stanowi, że żaden zbiór nie jest równoliczny ze zbiorem jego podzbiorów co symbolicznie notujemy Szczególnie zajmowaliśmy się przypadkiem, gdy jest zbiorem liczb naturalnych

W zeszłym roku (już po raz drugi!) miałem przyjemność pełnić funkcję tutora podczas obozu Maths Beyond Limits. Poprowadziłem dwie serie zajęć, z których jedna dotyczyła teorii mnogości. Starając się dać uczestnikom podstawy arytmetyki zbiorów nieskończonych w zajmujący i bezbolesny, mam nadzieję, sposób, pokazałem ciekawe zadania, wykorzystujące różne metody i pomysły. Jeden z nich jest szczególnie warty uwagi...

W poprzednim odcinku sprawdziliśmy, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych (także zbiór liczb całkowitych jest równoliczny z każdym z nich). Inaczej mówiąc, można ustawić liczby wymierne w pary z liczbami naturalnymi w taki sposób, że każda liczba wymierna stoi w parze z dokładnie jedną liczbą naturalną i każda liczba naturalna stoi w parze z dokładnie jedną liczbą wymierną. Można też powiedzieć, że wszystkie liczby wymierne da się zakwaterować w hotelu Hilberta.

Kontynuując naszą przygodę z nieskończonością, spróbujmy wypracować podstawowe narzędzia do jej badania. Przyda nam się w tym celu pewna analogia pomiędzy zbiorami nieskończonymi a tymi skończonymi. Wyobraźmy sobie dwa skończone zbiory osób. Powiedzmy, że elementami pierwszego z nich są: Aldona, Balbina, Cezaria oraz Delfina, a elementami drugiego: Abelard, Baldwin, Cyryl oraz Dezyderiusz. Od razu zauważamy, że te zbiory mają tyle samo elementów. Jak dojść do tego wniosku? Można policzyć elementy w każdym ze zbiorów i w obu przypadkach wyjdzie cztery. A co by było, gdybyśmy nie umieli liczyć do czterech? Czy jest inna metoda pozwalająca na stwierdzenie, że te zbiory mają tyle samo elementów?

O paru zasadach pozwalających stwierdzić, który z dwóch zbiorów ma więcej elementów, ale bez liczenia elementów tych zbiorów.

Zbiór to najbardziej podstawowe pojęcie matematyki. Ze zbiorami mamy do czynienia właściwie we wszystkich dyscyplinach matematycznych. Choć każdy Czytelnik na pewno intuicyjnie rozumie słowo "zbiór" (np. jako kolekcję lub zestaw utworzony z pewnego rodzaju elementów), to pojęcie to nie ma formalnej definicji.

Biorąc dwa skończone zbiory, można na dwa sposoby sprawdzić, że mają tyle samo elementów. Albo policzyć elementy w każdym z nich, albo też ustawić w pary elementy pierwszego zbioru z elementami drugiego.

Jednym z naturalnych skojarzeń z nieskończonością są duże, bardzo duże liczby. Tak bardzo, że trudno je sobie wyobrazić, a intuicja nie pomaga. Możemy jednak o nich pomyśleć. Czytając doniesienia o wydatkach z budżetu państwa lub tym bardziej o światowej gospodarce, łatwo pogubić się w milionach, miliardach i bilionach. I chociaż wiemy, że w bilionie mieści się aż milion milionów, mało kto jest w stanie to sobie wyobrazić. Wszystkie te liczby wpadają w tę samą kategorię - liczb dużych na tyle, że nie znajdujemy dla nich zastosowania w zwyczajnym codziennym życiu.

Na nieskończoność natrafiono już w starożytności. Nic dziwnego, że była traktowana z podejrzliwością, w końcu wszystko w prawdziwym świecie wydawało się skończone. Bywała źródłem problemów, paradoksów i sporów (na przykład, paradoks Zenona z Elei). W końcu, w drugiej połowie XIX wieku, nieskończoność udało się nieco oswoić (nie mylić z ujarzmić), weszła do kanonu matematyki, a właściwie w jej fundamenty. Owo oswajanie zaczęło się od Georga Cantora...

Nieskończoność... Co myślisz, gdy słyszysz to słowo? Może myślisz o rozgwieżdżonym niebie? Może próbujesz wyobrazić sobie coś bardzo, ale to bardzo dużego? A może myślisz o ludzkiej wyobraźni i sile naszego umysłu? George Cantor postanowił potraktować nieskończoność jak coś "zwykłego" i po prostu ją zbadał. Pójdziemy jego śladem. Zastanówmy się... Czy każda nieskończoność jest taka sama? Czy też może są większe i mniejsze? Czy wszechświat jest nieskończony? Co to jest nieskończoność? Na wiele pytań dotyczących nieskończoności udzielono wyczerpujących odpowiedzi. Na część z nich odpowiedzi nie są znane. O niektórych wiadomo, że nie da się na nie odpowiedzieć po prostu "tak" lub "nie".

Drodzy Poszukiwacze Przygód, witam Was na kolejnym szkoleniu. Dzisiaj nauczymy się jak rozpoznawać, znajdować i radzić sobie w boju z Hydrą. Hydry to paskudne stworzenia, zamieszkujące świat grafów. Niech Was nie zmyli rysunek obok. Zobaczcie, jak przerażająco on wygląda. Hydry to bestie, które tylko upodobniają się do drzew, aby Was zmylić! Tam, gdzie niektórzy z Was dostrzegają korzeń, znajduje się tułów bestii. Tam, gdzie wydają się być liście, są głowy naszego stwora. Krawędzie to szyje, a wierzchołki wewnętrzne to zgięcia.

W tym artykule chcemy zaprezentować pewną technikę dowodową zwaną interpretacją kombinatoryczną. Metoda ta pokazana będzie w działaniu: podajemy dwa zadania wraz z rozwiązaniami, które są ilustracją tematu.

Indukcja pozaskończona wykorzystywana jest w dowodach istnienia różnych obiektów matematycznych. Główną częścią tego typu dowodu jest definicja indukcyjna (inaczej: rekurencyjna) funkcji.

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych

Jakie jest największe miasto na świecie? Czy wirus jest organizmem żywym? Jaki jest najpiękniejszy obraz Tycjana? Są to proste pytania, na które nie ma jednoznacznej odpowiedzi. Przyczyną jest brak jasno określonych kryteriów. Jedną z cech wyróżniających matematykę spośród innych dziedzin życia i nauki jest to, że każde pojęcie ma swoją precyzyjną definicję. Wydaje się więc, że na każde pytanie matematyczne jest jednoznaczna odpowiedź, którą można formalnie uzasadnić. W konsekwencji, nic nie jest brane "na wiarę". Okazuje się, że nie do końca tak jest!

Słyszy się często: "to pewne, jak ". Zdania matematyczne bywają podawane za wzór niewzruszonej i absolutnej prawdy. Pytanie, jakie zdania? Niewątpliwie pewniki, czyli aksjomaty ("przez dwa punkty przechodzi dokładnie jedna prosta") oraz twierdzenia, choćby tak łatwe, jak to zacytowane na początku.