Delta mi!

Niech liczba boków wielokąta będzie równa a jego wierzchołkami będą kolejno Dla niech

gdzie dla Innymi słowy, jest różnicą długości części, na które dzielą obwód wielokąta punkty oraz Ponieważ

(gdzie jest obwodem danego wielokąta), to jest liczbą parzystą. Ponadto mamy

Zachodzi także równość Stąd wynika, że ciąg liczb

składa się z liczb parzystych, a jego kolejne wyrazy różnią się nie więcej niż o 2. Zatem istnieje takie że czyli punkty oraz dzielą obwód danego wielokąta na dwie części o jednakowej długości.

Skorzystamy z następującego lematu: jeśli punkt leży wewnątrz trójkąta i to Aby go udowodnić, zauważmy najpierw, że nie leży na co najmniej jednym z odcinków Bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to Niech będzie punktem przecięcia prostych i Wtedy z nierówności trójkąta:

Przejdźmy do rozwiązania zadania. Niech będzie środkiem okręgu a będzie promieniem tego okręgu. Punkt leży w co najmniej jednym z trójkątów ; bez straty ogólności przyjmijmy, że jest to trójkąt Podobnie, leży w którymś z trójkątów ; przyjmijmy, że jest to trójkąt Zgodnie z lematem zachodzi ; i analogicznie: Zatem któryś z odcinków jest mniejszy od i któryś z odcinków jest większy od

Przyjmijmy

Oczywiście to długości fragmentów boków od wierzchołków do punktów styczności z okręgiem wpisanym. Oznaczając przez środek i promień okręgu wpisanego, mamy zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Lewa strona zadanej nierówności jest sumą trzech składników. Przekształcamy wyrażenie pod pierwiastkiem w pierwszym składniku:

(1)

Pole trójkąta wyraża się wzorami (wzór Herona) oraz ; stąd Kontynuujemy przekształcenie (1):

Analogicznie wyrażają się pozostałe dwa składniki. Dowodzona nierówność przybiera postać

po uproszczeniu:

(2)

- co jest banalną prawdą, skoro

Biorąc trójkąt, w którym najmniejszy kąt jest bliski zeru, uzyskujemy w nierówności (2) stosunek lewej do prawej strony dowolnie bliski jedności (trójkąt niewiele różni się od odcinka, a obie strony (2) są bliskie długości owego odcinka). Stąd wniosek, że stała (w oryginalnej nierówności) jest optymalna.