Delta mi!

Niech Ponieważ więc

W tej sytuacji wtedy i tylko wtedy, gdy Teza wynika zatem z ciągłości funkcji i własności Darboux funkcji ciągłych.

Z definicji ciągu wynika (przez oczywistą indukcję), że wszystkie jego wyrazy są dobrze określonymi liczbami dodatnimi. Weźmy pod uwagę ilorazy ; ciąg liczb dodatnich z wyrazem początkowym spełnia zależność rekurencyjną

(1)

Pokażemy, że dla zachodzi równość

(2)

Uzasadnienie indukcyjne: dla tak jest. Przyjmijmy równość dla pewnego Ponieważ mamy wówczas

stąd (wobec spostrzeżenia, że ):

W połączeniu ze wzorem (1) daje to równość (2) z zastąpionym przez czyli tezę indukcyjną.

Wzór (2) został wykazany. Wywnioskujemy z niego, że

(3)

dla Znów indukcja: dla zgadza się (bo ). Ustalmy i przyjmijmy słuszność (3) z zastąpionym przez Z takiego założenia indukcyjnego i ze wzoru (2) otrzymujemy

co kończy indukcyjny dowód wzoru (3). Tak więc

(bo przy ). Stąd, ostatecznie,

Ponieważ jest różnowartościowa, to dla każdego spełniona jest nierówność

Oznacza to, że liczby

są nieujemne. Niech oraz Stosując przekształcenie Abela, otrzymujemy równość

Prawa strona tej równości jest nieujemna, zatem lewa też. Stąd bezpośrednio wynika teza.

Zauważmy, że

więc

Zauważmy, że

więc

Udowodnimy indukcyjnie, że dla

Dla nasza nierówność przyjmuje postać Załóżmy, że nierówność jest prawdziwa dla gdzie Wówczas

co dowodzi prawdziwości nierówności dla W takim razie nierówność jest spełniona dla każdej liczby naturalnej

Oznaczmy Liczby są całkowite i większe od 1, czyli większe lub równe 2. Zatem

Z rekurencyjnego określenia ciągu wynika, że

Stąd

A skoro widzimy, że przy Jest to suma szeregu ; i oczywiście jest to liczba wymierna.

Z podanych warunków wynika od razu, że jest różnowartościowym odwzorowaniem przedziału na cały ten sam przedział. Ma więc funkcję odwrotną; a skoro zatem funkcja jest tą odwrotną do (Łatwo uzasadnić ciągłość obu funkcji - ale ta wiedza nie będzie tu potrzebna).

Dalszy ciąg rozumowania to starogreckie "patrz(!)". Rysunek przedstawia wykres (przykładowej) funkcji leżący w kwadracie którego dwoma bokami są odcinki na poziomej i pionowej osi układu współrzędnych. Ta sama krzywa jest też wykresem funkcji gdy przyjmiemy, że (rozważając ) odkładamy zmienną niezależną na osi pionowej, a zależną na poziomej.

Niech będzie wielokątem powstałym z połączenia prostokątów, których podstawami są odcinki osi poziomej a wysokości wynoszą kolejno Analogicznie tworzymy wielokąt rozważając funkcję i zamieniając role osi współrzędnych.

Wielokąty i są (prawie) rozłączne - mogą mieć wspólne jedynie niektóre wierzchołki. Uzasadnienie: jeśli punkt należy do to znaczy, że dla pewnego zachodzą nierówności ; jeżeli ten sam punkt należy do to dla pewnego mamy ; stąd

Zauważmy wreszcie, że kwadracik o boku mający wierzchołek w punkcie nie ma punktów wspólnych ani z wielokątem ani z Po jego usunięciu z kwadratu pozostaje figura o polu ; figury i są w niej zawarte, ale nie wypełniają jej szczelnie, skoro nie mają wspólnych fragmentów boków (poza wierzchołkami).

Pole wielokąta wynosi ; pole wynosi Suma tych pól jest mniejsza niż Mnożymy uzyskaną nierówność przez i mamy tezę zadania.

(Stała jest optymalna; nierówność staje się bliska równości, gdy wykres funkcji zbliża się do odpowiednio dobranej linii łamanej, utworzonej z odcinków poziomych i pionowych).