Przeskocz do treści

Delta mi!

Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne , Podzielność

Słowa kluczowe

Kategoria

Teoria liczb

Zadanie ZM-1215
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: sierpień 2008

Publikacja elektroniczna: 02-02-2011
Dane są liczby całkowite dodatnie $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ o następującej własności:
dla każdej liczby całkowitej dodatniej $\text{[math]}$ liczby $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ nie są względnie pierwsze. Udowodnić, że $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Przypuśćmy, że $\text{[math]}$ i przyjmijmy $\text{[math]}$ Wtedy $\text{[math]}$ a więc liczby $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ mają wspólny dzielnik $\text{[math]}$ Zatem liczba $\text{[math]}$ jest także dzielnikiem liczby
$display-math$
oraz liczby
$display-math$
Uzyskaliśmy sprzeczność, ponieważ liczby $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są względnie pierwsze: każdy dzielnik pierwszy $\text{[math]}$ liczby $\text{[math]}$ jest także dzielnikiem liczby $\text{[math]}$ a więc $\text{[math]}$ nie może być dzielnikiem liczby $\text{[math]}$ Wobec tego $\text{[math]}$
Narzędzia

Obiekty

Liczby naturalne , Podzielność

Słowa kluczowe

Kategoria

Teoria liczb

Zadanie ZM-1240
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: maj 2009

Publikacja elektroniczna: 18 czerwca 2010
Rozstrzygnąć, czy istnieje 19-cyfrowa liczba naturalna N podzielna przez $|11$ o tej własności, że każda inna 19-cyfrowa liczba otrzymana z N poprzez zmianę kolejności (permutację) jej cyfr nie jest podzielna przez $|11.$

Rozwiązanie

Taka $19$ -cyfrowa liczba $N$ istnieje, np. $=2121...12 N$

Wiadomo, że $|k$ -cyfrowa liczba $------------- |n =akak −1...a2a1$ jest podzielna przez $11$ wtedy i tylko wtedy, gdy liczba $|S = a −a + a − a + ... 1 2 3 4$ jest podzielna przez $|11$ . Stąd wynika, że liczba $|N$ jest podzielna przez $|11.$

Wykażemy teraz, że każda inna liczba $------------- n = a19a18...a2a1$ otrzymana z $|N$ poprzez permutaję jej cyfr nie jest podzielna przez $|11.$

Ponieważ wśród cyfr $a ,a ,...,a 1 2 19$ liczby $n$ jest dokładnie $|10$ dwójek i $9$ jedynek, więc liczba $S$ jest nieparzysta. Ponadto $− 7 ⩽ S⩽ 11$ . Stąd wynika, że liczba $|n$ jest podzielna przez $11$ wtedy i tylko wtedy, gdy $S = 11.$ To jednak jest możliwe jedynie wtedy, gdy $. n = N$