Każdy kolarz ma w rowerze włączoną lampę przednią, która oświetla otwarty łuk toru długości Kolarz jest samotny, jeżeli w pewnej chwili nie widzi przed sobą nikogo ani nikt inny nie oświetla go z tyłu.

Tę melancholijną hipotezę postawił Jörg Michael Wills w roku 1967, w kontekście aproksymacji diofantycznych. Dla jest ona trywialnie prawdziwa. Dla jest niemal oczywista: w pewnym momencie dwaj kolarze pędzący z różnymi prędkościami muszą znaleźć się na końcach średnicy toru, wtedy obydwaj staną się samotni. Ale dla zadanie nie jest już całkiem banalne (zachęcamy Czytelnika do przeprowadzenia ścisłego dowodu hipotezy). Do dzisiaj hipoteza została potwierdzona jeszcze dla Stopień komplikacji w kolejnych przypadkach rośnie, np. dowód hipotezy dla sześciu kolarzy rozciąga się na niemal pięćdziesięciu stronach wydruku.

Co tedy robić? George Pólya radzi:

Może osłabić lampy w rowerach? Nietrudno dowieść, że przy lampach o zasięgu dwukrotnie mniejszym hipoteza jest prawdziwa. Najpierw zauważmy, że nie tracimy ogólności przy zmniejszeniu lub zwiększeniu wszystkich prędkości o tę samą wartość. Możemy zatem przyjąć, że jeden z kolarzy, dowolnie wybrany, pędzi z prędkością zero, czyli właściwie stoi w punkcie startu. Po wyzerowaniu wybranego kolarza mogą się pojawić kolarze z ujemnymi prędkościami, czyli jadący do tyłu. Tych należy zastąpić jadącymi w tym samym tempie do przodu. Zabieg ten nie ma znaczenia dla samotności stojącego kolarza.

To rozumowanie prowadzi do nieco innego, acz równoważnego sformułowania wyjściowego problemu. Przypuśćmy, że w punkcie startu kolarzy stoi lampa oświetlająca łuk otwarty o rozpiętości Kolarze jadą z prędkościami dodatnimi w tym samym kierunku. Lampy w rowerach są wygaszone. Czekamy na moment, w którym żadnego kolarza nie będzie w oświetlonym łuku. Przy założeniu, że ściga się kolarzy i Hipoteza 1 może być sformułowana w jeszcze bardziej posępny, ale równoważny, sposób.

Obliczymy teraz, jak długo pojedynczy kolarz przebywa w oświetlonym łuku podczas całego wyścigu. Niech będzie liczbą całkowitą dodatnią wyrażającą prędkość kolarza (nietrudno uzasadnić, że ograniczenie do liczb całkowitych nie zmniejsza ogólności zagadnienia). Przyjmijmy zatem, że kolarz pokonuje okrążeń toru w jednostce czasu. Po jej upływie wszyscy kolarze znajdą się ponownie razem w punkcie startu. Możemy więc przyjąć, że wyścig kończy się w tym momencie, gdyż nic nowego na torze już się nie wydarzy. Zgodnie ze wzorem na drogę w ruchu jednostajnym czas przejazdu kolarza przez łuk długości wynosi W ciągu całego wyścigu takich przejazdów jest dokładnie przy czym na jeden z nich składa się pierwszy i ostatni przejazd przez połowę świetlnego łuku. Stąd łączny czas przejazdu kolarza przez rejon światła to Wielkość ta jest niezależna od co nie jest chyba zaskakujące: szybszy kolarz szybciej mknie przez rejon światła, ale za to częściej weń wpada. Jeżeli przyjmiemy teraz, że to widzimy, że całkowity czas, w którym przynajmniej jeden kolarz był w łuku świetlnym, wynosi co najwyżej W rzeczywistości nie może być on równy gdyż początkowo wszyscy kolarze są w pobliżu lampy. Musi zatem istnieć moment, w którym cały peleton zginie w gęstym mroku.

Wyobraźmy sobie teraz, że możemy regulować moc lampy, zwiększając stopniowo jej zasięg, począwszy od rozpiętości Zjawisko znikania peletonu w mroku będzie zapewne zachodzić przy delikatnym zwiększeniu mocy, ale pytanie jak długo? Hipoteza 2 mówi, że aż do Tej ostatniej granicy nie da się już przekroczyć, co widać na przykładzie kolarzy jadących z prędkościami Jak dotąd, nikomu nie tylko nie udało się zbliżyć do hipotetycznej granicy, ale wręcz znacząco oddalić się od początkowej rozpiętości Nie wiadomo nawet tego, czy Hipoteza 2 zachodzi przy dla jakiegokolwiek Najlepszy obecnie rezultat, należący do Terrenca Tao, potwierdza ją jedynie dla dostatecznie dużych przy gdzie jest stałą dodatnią.

Inną prostą konsekwencją powyższych dywagacji jest taki oto dziwny fakt. Jak wykazaliśmy, całkowity czas pobytu każdego kolarza w rejonie światła wynosi niezależnie od jego prędkości. Składa się on z rozłącznych odcinków czasowych. Jeżeli to suma długości wszystkich tych odcinków wynosi Co to znaczy? Pokolorujmy odcinki czasowe każdego kolarza innym kolorem, powiedzmy, kolorem jego koszulki. Mamy więc kolekcję odcinków w kolorach pokrywających jakoś jednostkowy przedział czasu. Całkowita suma ich długości jest mniejsza od Musi zatem istnieć punkt pokryty co najwyżej jednym kolorem. Jest to punkt w czasie, w którym co najwyżej jeden kolarz znajduje się w rejonie światła. Udowodniliśmy w ten sposób następujące twierdzenie.

Niestety, nie wiemy, który to kolarz. Gdyby teza twierdzenia zachodziła dla dowolnie wybranego kolarza, oznaczałoby to, że Hipoteza 2 jest prawdziwa przy co w porównaniu ze wspomnianym rezultatem Tao byłoby zaiste rewelacją. Powyższe twierdzenie skłania do następującego osłabienia Hipotezy 1, o które zapytał Joel Spencer.

Jest rzeczą zadziwiającą, że mimo tak znacznego osłabienia tezy, wszak zamieniliśmy kwantyfikator ogólny na egzystencjalny, niczego istotnego nie udało się udowodnić.

Na koniec przedstawimy jednak pewien nieprawdopodobny wynik, który budzi nadzieję na ostateczne zwycięstwo. Rozważmy sytuację, w której prędkości kolarzy wybieramy losowo ze zbioru Niech oznacza prawdopodobieństwo, że taki losowy peleton spełnia Hipotezę 2.

Jeżeli jest ona prawdziwa, to, oczywiście, dla każdego Powiemy, że Hipoteza 2 jest prawie na pewno prawdziwa, jeżeli Poniższe twierdzenie, udowodnione przez Sebastiana Czerwińskiego, pokazuje, że dużo silniejsza wersja Hipotezy 2 jest prawie na pewno prawdziwa.

Mamy tu na myśli, że Hipoteza 2 jest prawie na pewno prawdziwa przy dla każdego Twierdzenie to wzmocnił i uogólnił Noga Alon, upraszczając przy okazji dowód Czerwińskiego. Udowodnił on, że dowolnie wybrani kolarze losowego peletonu znajdą się w pewnej chwili dowolnie blisko dowolnie wybranych punktów toru.