Perkolacje

Wyobraźmy sobie porowaty materiał, może to być gleba, a może to być... ubita kawa w kawiarce. Czy przez ten materiał można przesączyć wodę? Intuicyjnie wiemy, że jest to możliwe w przypadku kawy, ale już w przypadku gleby zależy od jej rodzaju, a dokładniej - od struktury "porów wolnej przestrzeni". W roku 1957 matematycy angielscy, Simon Broadbent i John Hammersley, zaproponowali probabilistyczny model opisujący materiały porowate. Pomimo prostoty definicji model ten (zwany perkolacjami) okazał się fascynującym tematem badań. Wspomnijmy, że, między innymi, za wyniki dotyczące perkolacji Stanisław Smirnow został nagrodzony w 2010 roku najwyższym matematycznym wyróżnieniem, Medalem Fieldsa.

Czym jest perkolacja? Wyobraźmy sobie stronę zeszytu w kratkę. Każda jej krawędź może być otwarta ( "przepuszczająca wodę") lub zamknięta ( "nieprzepuszczająca wody"). O otwarciu krawędzi decydujemy w sposób losowy, rzucając kostką sześcienną. Rozważmy dwa przypadki. W pierwszym z nich otwieramy krawędź, gdy na kostce wypadnie 1 lub 2. Rysunek 1 przedstawia przykładowy rezultat takiego losowego doświadczenia - jak widać, nie istnieje otwarta ścieżka z góry na dół, którą woda mogłaby przepłynąć. W drugim przypadku otwieramy krawędź, gdy na kostce wypadnie jedna z liczb 1, 2, 3, 4. Intuicyjnie łatwo stwierdzić, że szansa przepłynięcia wody gwałtownie rośnie, co ilustruje drugi rysunek. Wspomniani już Broadbent i Hammersley przekuli powyższe intuicje w abstrakcyjny model matematyczny. Rozważmy nieskończony graf regularny (może to być nieskończona kartka w kratkę, czyli graf $|Z2$ ). Każdą z jego krawędzi otwieramy niezależnie z pewnym prawdopodobieństwem $|p∈ (0,1).$ Kluczowe w teorii perkolacji jest pytanie "jakie jest prawdopodobieństwo, że krawędzie otwarte łączą się w nieskończony zbiór?". Intuicyjnie jest oczywiste, że szansa ta zwiększa się wraz ze wzrostem $p.$ Sugeruje to istnienie takiego prawdopodobieństwa krytycznego $p , c$ że dla $p < p c$ nie ma nieskończonego zbioru otwartego (woda nie może przepływać), a dla $|p > pc$ taki zbiór ma szansę powstać. Jednym z pierwszych osiągnięć teorii perkolacji było pokazanie, że prawdopodobieństwo krytyczne dla $|Z2$ jest nietrywialne, mianowicie, że $|0 < p < 1. c$

Pokażemy teraz szkic argumentu pokazującego, że dla $|Z2$ mamy $|p ⩾ 1/3. c$ Rozważmy kwadrat na kartce papieru o boku $2n + 1,$ czyli zbiór $2 |{−n,− n+ 1,...,n− 1,n} .$ Zastanówmy się, czy środek tego kwadratu jest połączony za pomocą krawędzi otwartych z jakimś punktem brzegu. Jeśli tak, to istnieje ścieżka o długości $n$ złożona z krawędzi otwartych, zaczynająca się w $(0,0)$ (np. będąca częścią ścieżki otwartej do brzegu). Zauważmy, że liczbę wszystkich ścieżek o długości $|n$ możemy oszacować przez $4 ⋅3n−1.$ Szansa na to, że każda z krawędzi takiej ścieżki jest otwarta, wynosi $n p$ (korzystamy z założenia o niezależności). Jeden z podstawowych wyników teorii prawdopodobieństwa mówi, że szansa na otwarcie przynajmniej jednej ścieżki jest mniejsza niż suma prawdopodobieństw otwarcia poszczególnych ścieżek, co w naszym przypadku wynosi $4 n 3 ⋅(3p) .$ W ostatnim kroku obserwujemy, że liczba ta jest bardzo mała, gdy $|p < 1/3,$ a $n$ jest duże. W związku z tym łatwo uwierzyć (a także matematycznie wykazać), że każdy z połączonych zbiorów krawędzi otwartych będzie wtedy skończony. Nasze rozważania pokazują zatem, że $|pc⩾ 1/3.$

Podobny, choć trudniejszy, argument pokazuje, że dla $p$ bliskich jedynki nieskończony zbiór otwarty zawierający $(0,0)$ ma szansę powstać. Zachęcamy Czytelnika do próby uzasadnienia tego faktu. Kluczową obserwacją jest to, że jeśli zbiór jest skończony, to istnieje "pętla" otaczająca $|(0,0),$ przecinająca jedynie zamknięte krawędzie.

Główną trudnością w analizie perkolacji są nietrywialne zależności geometryczne. Jednocześnie są one źródłem wielu ciekawych fenomenów sprawiających, że perkolacje są interesującym modelem. W naszej analizie badaliśmy "oddzielnie" ścieżki długości $n,$ tymczasem wiele z nich się pokrywa. Mimo że przedstawione argumenty można poprawić, uzyskanie wartości $pc$ wymagało znacznie bardziej zaawansowanych metod, których opracowanie trwało 20 lat i zostało uwieńczone dowodem Harrego Kestena pokazującym, że $pc = 1/2.$

Uzyskanie dokładnych wartości prawdopodobieństwa krytycznego dla innych grafów często jest niemożliwe. Zaskakująco nie przeszkadza to w badaniu zachowania perkolacji w punkcie krytycznym. Jest to najbardziej aktywne pole rozwoju teorii (te zagadnienia były badane przez Smirnowa). Mimo że wykazano to ściśle w małej ilości przypadków, spodziewamy się, że zachowanie w dużej skali w tym punkcie zależy głównie od wymiaru grafu (na przykład zachowanie perkolacji na "kartce w kratkę" będzie podobne jak na "plastrze miodu"). Fenomen ten, zwany uniwersalnością, jest przedmiotem intensywnych badań, poprzez swoje związki z innymi dziedzinami matematyki. Zapewne w najbliższych latach doprowadzi do nowych fascynujących wyników.