Kilka słów o wymiarze

Ideą teorii wymiaru jest przyporządkowanie przestrzeni
liczby
całkowitej (wymiaru
) tak, by było to zgodne z intuicyjnym znaczeniem
tego słowa. Dla uproszczenia skoncentrujemy się na podzbiorach przestrzeni
Hilberta, która zawiera, między innymi, przestrzenie euklidesowe wszystkich
wymiarów.
Oczywiste jest, że zbiór złożony ze skończenie wielu punktów ma
wymiar 0, prosta euklidesowa
i odcinek – wymiar 1, płaszczyzna
i koło – wymiar 2, a przestrzeń trójwymiarowa
i pełna
kula – wymiar 3. Mając do czynienia z bardzo prostymi obiektami, uznajemy,
że wymiar jest równy odpowiednio 1, 2 lub 3 wtedy, gdy uda się w nim
umieścić odcinek, dwa lub trzy odcinki wzajemnie prostopadłe. Zastanówmy
się, jakie własności powinno mieć przyporządkowanie zbiorowi jego wymiaru.
Wydaje się przede wszystkim, że wymiar powinien być niezmiennikiem
topologicznym. Jeżeli pełny kwadrat ma wymiar 2, to wymiar 2 powinien
mieć także ten sam kwadrat po tym, jak się go powygina i porozciąga
w różnych kierunkach. Spodziewamy się także, że wymiar przestrzeni
będącej sumą swoich domkniętych podzbiorów
o wymiarach nie większych niż ustalona liczba
także
nie może być większy od
Wynika stąd, że wymiar zbioru
nie może być mniejszy niż wymiary jego podzbiorów. Nie może więc
budzić także żadnych wątpliwości fakt, że wymiar wielościanu musi być
równy największemu spośród wymiarów wszystkich sympleksów
(odcinków, trójkątów, czworościanów itd.), których jest sumą (jest sumą
skończenie wielu).
W wielu sytuacjach pojawiają się jednak obiekty bardziej złożone. Figury mogą np. być tak skomplikowane, że nie będą zawierać nie tylko żadnego odcinka, ale nawet podzbioru homeomorficznego z odcinkiem, a powinniśmy wiedzieć, w jaki sposób stwierdzić, czy są jedno-, dwu-, trój- czy więcej wymiarowe.
W 1912 roku Henri Poincaré zaproponował, by definicja wymiaru miała charakter indukcyjny oraz odwoływała się do własności rozcinania figury. Punktem wyjścia jego rozważań była obserwacja, że do rozcięcia prostej figury trójwymiarowej na części potrzeba powierzchni, do rozcięcia figury wymiaru 2 potrzebne są linie, a na to, by podzielić na części linię, potrzeba punktów.
Precyzyjną indukcyjną definicję wymiaru sformułowali niezależnie Paweł Uryson
(1922) i Karl Menger (1923). Przyjęli oni, że zbiór pusty jest jedynym zbiorem
o wymiarze równym
Jeżeli
jest liczbą naturalną lub
to wymiar
jest nie większy niż
gdy dla
każdego punktu
oraz każdego jego otoczenia
w
istnieje otwarte otoczenie
tego punktu, którego
ograniczenie
ma wymiar
Jeżeli
i nie jest prawdą, że
to przyjmujemy,
że
Jeżeli
dla
to
mówimy, że wymiar
jest nieskończony i piszemy
Konsekwencją tej definicji jest np. to, że przestrzeń euklidesowa
i kostka wymiaru
nie mogą być rozcinane przez
zbiory o wymiarze mniejszym niż
natomiast podzbiór
może sam mieć wymiar
tylko wtedy, gdy ma punkty
wewnętrzne, czyli zawiera kulę otwartą przestrzeni euklidesowej.
Mówimy, że zbiór
jest przegródką między rozłącznymi
podzbiorami
i
zbioru
albo przegródką oddzielającą
od
jeżeli
gdzie
i
są takimi rozłącznymi otwartymi podzbiorami
że
Oznacza to w szczególności, iż
jest
domkniętym podzbiorem
Odcinek łączący środki dwóch
przeciwległych boków kwadratu jest przegródką oddzielającą dwa pozostałe
boki. Żaden podzbiór kwadratu, położony w jego wnętrzu, nie może,
oczywiście, ich oddzielać.
Wymiar przestrzeni można scharakteryzować, używając pojęcia przegródek.
Nierówność
zachodzi mianowicie wtedy i tylko wtedy, gdy dla
dowolnych rozłącznych podzbiorów domkniętych
i
istnieje
przegródka
oddzielająca
od
o wymiarze
Na płaszczyźnie euklidesowej jest znacznie więcej miejsca niż na prostej i mniej
niż w przestrzeni trójwymiarowej. Uogólniając to, możemy się spodziewać,
że w przestrzeni o większym wymiarze musi być więcej miejsca niż
w przestrzeni o wymiarze mniejszym. Jeżeli
jest przestrzenią zwartą,
to okazuje się, na przykład, że nierówność
zachodzi
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego pokrycia
przestrzeni
zbiorami otwartymi można znaleźć drobniejsze pokrycie
otwarte
które daje się rozłożyć na sumę
rodzin
takich że zbiory należące do jednej ustalonej rodziny
są parami rozłączne (
). Można także wykazać,
iż nierówność
jest równoważna temu, że dla
każdego skończonego pokrycia otwartego przestrzeni
można
znaleźć takie drobniejsze pokrycie skończone, że przecięcie każdych
różnych zbiorów otwartych należących do niego jest
zbiorem pustym.
Można się zastanawiać, czy lepszym i bliższym intuicji podejściem do
problemu sformułowania ogólnej definicji wymiaru nie byłaby redukcja
naszego zadania do badania wymiarów wielościanów coraz lepiej
aproksymujących przestrzeń, której wymiar chcemy określić. Okazuje
się jednak, że idąc tą drogą, otrzymuje się dokładnie to samo pojęcie,
co poprzednio. Zbiór zwarty
ma w szczególności wymiar
nie większy niż
wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
istnieje przekształcenie
w przestrzeń o tej własności,
że punkt
oraz jego obraz
są oddalone o mniej niż
natomiast obraz całego
jest wielościanem wymiaru
co najwyżej