Oczywiste jest, że zbiór złożony ze skończenie wielu punktów ma wymiar 0, prosta euklidesowa  i odcinek – wymiar 1, płaszczyzna  i koło – wymiar 2, a przestrzeń trójwymiarowa  i pełna kula – wymiar 3. Mając do czynienia z bardzo prostymi obiektami, uznajemy, że wymiar jest równy odpowiednio 1, 2 lub 3 wtedy, gdy uda się w nim umieścić odcinek, dwa lub trzy odcinki wzajemnie prostopadłe. Zastanówmy się, jakie własności powinno mieć przyporządkowanie zbiorowi jego wymiaru. Wydaje się przede wszystkim, że wymiar powinien być niezmiennikiem topologicznym. Jeżeli pełny kwadrat ma wymiar 2, to wymiar 2 powinien mieć także ten sam kwadrat po tym, jak się go powygina i porozciąga w różnych kierunkach. Spodziewamy się także, że wymiar przestrzeni  będącej sumą swoich domkniętych podzbiorów  o wymiarach nie większych niż ustalona liczba  także nie może być większy od  Wynika stąd, że wymiar zbioru nie może być mniejszy niż wymiary jego podzbiorów. Nie może więc budzić także żadnych wątpliwości fakt, że wymiar wielościanu musi być równy największemu spośród wymiarów wszystkich sympleksów (odcinków, trójkątów, czworościanów itd.), których jest sumą (jest sumą skończenie wielu).

W wielu sytuacjach pojawiają się jednak obiekty bardziej złożone. Figury mogą np. być tak skomplikowane, że nie będą zawierać nie tylko żadnego odcinka, ale nawet podzbioru homeomorficznego z odcinkiem, a powinniśmy wiedzieć, w jaki sposób stwierdzić, czy są jedno-, dwu-, trój- czy więcej wymiarowe.

W 1912 roku Henri Poincaré zaproponował, by definicja wymiaru miała charakter indukcyjny oraz odwoływała się do własności rozcinania figury. Punktem wyjścia jego rozważań była obserwacja, że do rozcięcia prostej figury trójwymiarowej na części potrzeba powierzchni, do rozcięcia figury wymiaru 2 potrzebne są linie, a na to, by podzielić na części linię, potrzeba punktów.

Precyzyjną indukcyjną definicję wymiaru sformułowali niezależnie Paweł Uryson (1922) i Karl Menger (1923). Przyjęli oni, że zbiór pusty jest jedynym zbiorem o wymiarze równym  Jeżeli  jest liczbą naturalną lub  to wymiar  jest nie większy niż  gdy dla każdego punktu  oraz każdego jego otoczenia  w  istnieje otwarte otoczenie  tego punktu, którego ograniczenie  ma wymiar  Jeżeli  i nie jest prawdą, że  to przyjmujemy, że  Jeżeli  dla  to mówimy, że wymiar  jest nieskończony i piszemy

Konsekwencją tej definicji jest np. to, że przestrzeń euklidesowa  i kostka wymiaru  nie mogą być rozcinane przez zbiory o wymiarze mniejszym niż   natomiast podzbiór  może sam mieć wymiar  tylko wtedy, gdy ma punkty wewnętrzne, czyli zawiera kulę otwartą przestrzeni euklidesowej.

Mówimy, że zbiór  jest przegródką między rozłącznymi podzbiorami  i  zbioru  albo przegródką oddzielającą  od  jeżeli  gdzie  i  są takimi rozłącznymi otwartymi podzbiorami  że    Oznacza to w szczególności, iż  jest domkniętym podzbiorem  Odcinek łączący środki dwóch przeciwległych boków kwadratu jest przegródką oddzielającą dwa pozostałe boki. Żaden podzbiór kwadratu, położony w jego wnętrzu, nie może, oczywiście, ich oddzielać.

Wymiar przestrzeni można scharakteryzować, używając pojęcia przegródek. Nierówność  zachodzi mianowicie wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych rozłącznych podzbiorów domkniętych  i  istnieje przegródka  oddzielająca  od  o wymiarze

Na płaszczyźnie euklidesowej jest znacznie więcej miejsca niż na prostej i mniej niż w przestrzeni trójwymiarowej. Uogólniając to, możemy się spodziewać, że w przestrzeni o większym wymiarze musi być więcej miejsca niż w przestrzeni o wymiarze mniejszym. Jeżeli  jest przestrzenią zwartą, to okazuje się, na przykład, że nierówność  zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego pokrycia  przestrzeni  zbiorami otwartymi można znaleźć drobniejsze pokrycie otwarte  które daje się rozłożyć na sumę  rodzin  takich że zbiory należące do jednej ustalonej rodziny  są parami rozłączne ( ). Można także wykazać, iż nierówność  jest równoważna temu, że dla każdego skończonego pokrycia otwartego przestrzeni  można znaleźć takie drobniejsze pokrycie skończone, że przecięcie każdych  różnych zbiorów otwartych należących do niego jest zbiorem pustym.

Można się zastanawiać, czy lepszym i bliższym intuicji podejściem do problemu sformułowania ogólnej definicji wymiaru nie byłaby redukcja naszego zadania do badania wymiarów wielościanów coraz lepiej aproksymujących przestrzeń, której wymiar chcemy określić. Okazuje się jednak, że idąc tą drogą, otrzymuje się dokładnie to samo pojęcie, co poprzednio. Zbiór zwarty  ma w szczególności wymiar nie większy niż  wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego  istnieje przekształcenie  w przestrzeń o tej własności, że punkt  oraz jego obraz  są oddalone o mniej niż  natomiast obraz całego  jest wielościanem wymiaru co najwyżej