O rybach i ufności

W poprzednim numerze Delty przedstawiliśmy zgrabną metodę szacowania liczby ryb pływających w stawie. Przypomnijmy doświadczenie, na którym ta metoda się opierała: najpierw łowimy rybkę, potem rysujemy jej kreskę na ogonku, następnie na kartce zapisujemy liczbę kresek, jakie widzimy na ogonku trzymanej w ręce rybki, po czym wrzucamy ją z powrotem do stawu i całą procedurę powtarzamy $n$ razy.

Niech $|r$ będzie (nieznaną) liczbą ryb pływających w jeziorze. Poprzednio wykazaliśmy, że prawdopodobieństwo uzyskania na kartce konkretnego ciągu $|x$ wynosi $r g(x) -rnm,$ gdzie $|m$ jest liczbą jedynek w tym ciągu (tzn. liczbą różnych, złowionych przez nas ryb), zaś $|g(x)$ jest czynnikiem niezależnym od $r.$ Wynika stąd, że $m$ jest statystyką dostateczną i zawiera całą dostępną nam informację o $r.$ Niech $Pr(m)$ oznacza prawdopodobieństwo wyłowienia dokładnie $m$ różnych ryb. Nietrudno przekonać się, że $|Pr(m) = r- mn {n }, r m$ gdzie ${n } m$ jest liczbą podziałów zbioru $n$ -elementowego na $| m$ rozłącznych podzbiorów (na tyle sposobów możemy złowić $|m$ różnych ryb przy $n$ połowach). Wybierzmy teraz "małą" liczbę $α > 0$ (na przykład $|α = 0,1$ ) i zdefiniujmy przedział $[m1(r),m2(r)]$ w następujący sposób:

$pict$

Konstrukcja przedziału ufności dla $|m$ i $n 25,$ na poziomie $90%.$ Pionowe linie są przedziałami o prawdopodobieństwie (co najmniej) 90%. Przedział dla $|r 21$ został wyróżniony tylko dla ułatwienia objaśnień. Poziomy odcinek jest przedziałem ufności.

Wynika stąd, że

m2 Pr(m1(r)⩽ m⩽ m2(r)) = Q Pr(m)⩾ 1− α . m

(1)

Nierówność (1) mówi o tym, że z "dużym prawdopodobieństwem" $|1− α$ losowa wielkość $m$ należy do przedziału $[m1(r),m2(r)],$ który zależy od nieznanego $|r.$ Na rysunku pionowe odcinki przedstawiają przedziały obliczone dla $α = 0,1$ i różnych wartości $r$ (od 1 do 50). Przykładowo, dla $|r = 21$ mamy $m(r) = 11,m(r) = 17 1 2$ i $|P(11 ⩽m⩽ 17) = 0,9600163. r$

Przedstawione zależności wynikają z patrzenia na nasz rysunek pionowo, czyli dla różnych, ale ustalonych wartości $r.$ To jest punkt widzenia probabilisty. Punkt widzenia statystyka jest poziomy. Rozpatrujemy ustaloną (bo zaobserwowaną) wartość $m.$ Zdefiniujmy dwie zależne od $m$ liczby "na osi poziomej":

$pict$

Na przykład, dla $|m= 15$ mamy $r1(m) = 16$ i $r2(m) = 44.$ Przedział $|[16,44]$ na "wysokości" $|m= 15$ jest na rysunku wyróżniony.

Doszliśmy teraz do najważniejszego miejsca naszych rozważań. Chwila zastanowienia prowadzi do wniosku, że następujące dwa warunki są równoważne:

r1(m)⩽ r⩽ r2(m) oraz m1(r)⩽ m⩽ m2(r).

W istocie, wynika to z definicji $|ri(m)$ i z faktu, że obie funkcje $mi(r)$ są niemalejące, co nietrudno sprawdzić. Wynika stąd zatem, że dla każdego $|r$

Pr(r1(m)⩽ r⩽ r2(m))⩾ 1− α .

(2)

Nierówność (2) mówi o tym, że dla dowolnego $r,$ przedział $|[r1(m),r2(m)]$ zawiera nieznaną liczbę $|r$ z dużym prawdopodobieństwem. Ten przedział możemy obliczyć, bo znamy $m.$ Wspaniale! Wróćmy do naszych przykładowych danych, które pojawiły się na początku artykułu. Dla $|m= 15$ (i ustalonego $n = 25$ ), przypomnijmy, $|[r (m),r (m)] = [16,44]. 1 2$ A więc wydaje się, że następujące stwierdzenie jest zgodne z tym, co było powiedziane.

): Przedział $[16,44]$ zawiera nieznaną liczbę $r$ z prawdopodobieństwem co najmniej $0,90.$

Ale, ale, chyba się zagalopowaliśmy. Jeśli liczba $r$ nie jest zmienną losową, to powyższe zdanie jest bezsensowne. Przedział $[16,44]$ albo zawiera $r,$ albo nie. Jak się jezioro osuszy, to się wyjaśni. Bez osuszania jeziora musimy nasz wniosek sformułować inaczej.

(: Przedział $[16,44]$ jest przedziałem ufności dla nieznanej liczby $r$ na poziomie ufności $0,90.$

Jeśli o prawdopodobieństwie nie możemy mówić, to zastępujemy termin "prawdopodobieństwo" terminem "ufność". Matematyczną definicją przedziału ufności jest nierówność (2). Kłopot w tym, że prawdopodobieństwo we wzorze (2) opisuje niepewność wyniku doświadczenia, w tym przypadku wyłowienia $m$ różnych ryb, przed wykonaniem doświadczenia (przed połowem). Jak więc interpretować przedział $[16,44]$ obliczony po wyłowieniu $m= 15$ ryb?

Przedział ufności na poziomie $1− α$ jest to przedział obliczony na podstawie wyniku doświadczenia losowego w taki sposób, że jeśliby powtarzać doświadczenie wielokrotnie, to dla przynajmniej $(1− α )⋅100%$ doświadczeń, przedział obliczony tą samą metodą zawierałby nieznany parametr.

Zwróćmy uwagę, jaką rolę w interpretacji przedziału ufności odgrywają zdania warunkowe i tryb przypuszczający. Jest to charakterystyczny dla Statystyka sposób myślenia - po wykonaniu doświadczenia losowego zastanawia się on: "z jakim prawdopodobieństwem to czy tamto by się mogło zdarzyć, gdyby nie to, że już się zdarzyło".