Przedstawiony w książce algorytm jest efektem indukcyjnego rozumowania o strukturze grafu zbudowanego na bazie relacji znajomości (krawędzie) pomiędzy osobami (wierzchołki) i pokazuje, że zawsze da się podzielić zbiór osób na takie dwie grupy, że każda osoba ma parzystą liczbę znajomych wewnątrz swojej grupy.

Wiedząc o tym, że szukany podział zawsze istnieje, można to zadanie rozwiązać zupełnie inaczej, bez stosowania teorii grafów. Zauważmy, że w zasadzie mamy do czynienia jedynie z wartościami binarnymi: są dwa przyjęcia, każdy gość musi trafić albo na pierwsze, albo na drugie z nich, wreszcie interesuje nas tylko parzystość liczby znajomych, a nie jej dokładna wartość. Sprowadzimy zatem oryginalny problem do znalezienia rozwiązania pewnego układu równań w ciele

Zaczniemy od przypisania każdej osobie niewiadomej  o następującym znaczeniu:

Przyjmijmy na chwilę, że -ta osoba ma znajomych o numerach  oraz że jest ich parzyście wielu (tj. ). Przyjrzyjmy się takiemu oto równaniu:

(1)

Jeśli znajdziemy wartościowanie niewiadomych  spełniające to równanie, to wtedy -ta osoba będzie miała tak na pierwszym, jak i na drugim przyjęciu parzystą liczbę znajomych. W przeciwnym przypadku na obu przyjęciach będzie nieparzysta liczba znajomych -tej osoby.

Dla osób o nieparzystej liczbie znajomych będziemy musieli lekko zmodyfikować nasze rozumowanie. Jeśli bowiem dla takiej osoby  zbudujemy analogiczne równanie

to spełniające je wartościowanie niewiadomych  będzie oznaczało, że -ta osoba ma parzyście wielu znajomych na pierwszym przyjęciu i nieparzyście wielu na drugim. Jeśli zamiast zera postawilibyśmy po prawej stronie równania jedynkę, uzyskalibyśmy analogiczną sytuację: -ta osoba ma parzyście wielu znajomych na drugim przyjęciu i nieparzyście wielu na pierwszym. W każdym przypadku -ta osoba może „przypadkowo” znaleźć się na przyjęciu z nieparzystą liczbą swoich znajomych.

Aby poradzić sobie z osobami o nieparzyście wielu znajomych, zastosujemy pewną sztuczkę – włączymy takie osoby do równań z ich znajomymi:

(2)

Żeby upewnić się, że taki pomysł ma sens, rozpatrzmy dwa przypadki:

1.

Na pierwszym przyjęciu znajduje się parzyście wielu znajomych -tej osoby. Wtedy, oczywiście, jest ich nieparzyście wielu na drugim przyjęciu, a zatem chcemy sprawić, aby -ta osoba znalazła się na pierwszym przyjęciu. Ale w takiej sytuacji powyższe równanie będzie spełnione wtedy i tylko wtedy, gdy  czyli jest dobrze.

2.

Na pierwszym przyjęciu znajduje się nieparzyście wielu znajomych -tej osoby, a na drugim parzyście wielu. Wtedy chcemy wysłać tę osobę na drugie przyjęcie, więc  i równanie też zostanie spełnione.

Mamy już wszystkie składniki potrzebne do rozwiązania zadania. Konstruujemy układ  równań – po jednym dla każdej osoby. Jeśli -ta osoba ma parzyście wielu znajomych, to równanie jest postaci (1), a w przeciwnym przypadku postaci (2). Na przykład:

Do rozwiązywania układów równań liniowych służy algorytm eliminacji Gaussa. Zwykle jednak stosuje się go do „standardowych” układów równań w ciele liczb rzeczywistych, a nie w arytmetyce modularnej. Kluczowymi operacjami w eliminacji Gaussa są działania na wierszach rozszerzonej macierzy reprezentującej układ równań: mnożenie wiersza przez skalar oraz dodawanie wierszy. Za ich pomocą sprowadzamy macierz najpierw do postaci trójkątnej górnej z jedynkami na przekątnej, a następnie pozbywamy się wartości z górnej części macierzy, co daje nam rozwiązanie układu.

Aby przystosować eliminację Gaussa do działania w ciele (czyli w arytmetyce modularnej o podstawie  gdzie  jest liczbą pierwszą), musimy umieć wykonywać analogiczne operacje. Zazwyczaj nie jest to duży problem: dodając wiersze, musimy jedynie pamiętać o braniu reszty z dzielenia przez  Mnożenie przez skalar działa tak samo. Należy jednakże pamiętać, że w liczbach rzeczywistych mnożenie zwykle służy temu, aby doprowadzić do znalezienia się na przekątnej liczby  więc często mnożymy przez jakiś ułamek (de facto wykonujemy dzielenie). W arytmetyce modularnej o podstawie  odpowiednikiem takiego działania będzie przemnożenie  przez taką liczbę  że  W znajdowaniu takich wartości może pomóc np. rozszerzony algorytm Euklidesa.

Na szczęście nasze zadanie jest dużo prostsze, wszak działamy w   dla  W związku z tym nigdy nie wykonamy mnożenia ani dzielenia (gdyż jedynym niezerowym skalarem w   jest jedynka). Czas i pamięć potrzebne na zbudowanie układu równań są rzędu  Łączna złożoność czasowa algorytmu wynosi jednak  bowiem w takim czasie działa eliminacja Gaussa.