Delta mi!

W zderzeniu niesprężystym część energii kinetycznej zamieniana jest na wewnętrzne wzbudzenia zderzających się cząsteczek, ale nie zmienia się suma ich pędów i tym samym energia kinetyczna ruchu ich środka masy nie zmienia się w wyniku tych wzbudzeń. Najkorzystniejsza, z punktu widzenia zerwania wiązania, jest sytuacja, która odpowiada zderzeniu centralnemu, gdy przed zderzeniem cząsteczki zbliżają się do siebie z takimi samymi prędkościami. Cała energia kinetyczna ruchu przed zderzeniem może być wówczas zamieniona na wzbudzenia wewnętrzne. Minimalna prędkość spełnia więc warunek:

a stąd

Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek gazu w temperaturze wynosi Otrzymanej prędkości odpowiada więc temperatura:

Ze względu na szeroki rozkład prędkości cząsteczek opisana tu termiczna dysocjacja cząsteczek pojawia się w znacznie niższych temperaturach. Dodatkowo, dysocjacja może nastąpić po kilku zderzeniach, gdy w każdym z nich wzbudzane są coraz wyższe stany oscylacyjne cząsteczki.

Korzystając z rozwiązania poprzedniego zadania oraz wiedząc, że dla rozkład Poissona przechodzi na rozkład Gaussa (można to sprawdzić korzystając najpierw ze wzoru Stirlinga, a następnie z rozwinięcia logarytmu w szereg z dokładnością do dwóch wyrazów), mamy

Ostatnia równość została uzyskana przez zamianę zmiennych. Szukane prawdopodobieństwo wynosi

W naszym przypadku pozostaje więc tylko obliczenie W tym celu obliczamy liczbę molekuł gazu w najmniejszej z rozpatrywanych objętości

Pamiętając o przeliczeniu składu wagowego powietrza na skład objętościowy otrzymujemy następujące wartości prawdopodobieństw uszeregowane względem wartości

Przyjmując, że prawdopodobieństwo znalezienia dowolnej cząsteczki w objętości będącej częścią dużo większej objętości jest proporcjonalne do otrzymujemy, że liczba cząsteczek w objętości podlega statystyce Poissona

gdzie jest średnią liczbą cząsteczek w objętości Wiedząc, że wariancja rozkładu Poissona wynosi dostajemy

Rozważmy stan równowagi, w którym słupek gazu w rurce ma wysokość   Temperaturę gazu  możemy otrzymać z równania Clapeyrona:

gdzie  jest powierzchnią przekroju rurki, a warunek równowagi ciśnień ma postać

gdzie  jest gęstością rtęci. Temperatura jest kwadratową funkcją  :

i ma maksimum dla  Temperatura  do której wystarczy ogrzać gaz w rurce, wynosi więc

Uwzględniając, że w stanie początkowym

otrzymujemy ostatecznie:

Długość  fali generowanego dźwięku jest proporcjonalna do długości  piszczałki (współczynnik zależy od rodzaju piszczałki i nie zależy od rodzaju wypełniającego ją gazu), z definicji:  a więc częstotliwość  dźwięku danej piszczałki jest proporcjonalna do prędkości dźwięku w wypełniającym ją gazie. Powietrze to w ponad  mieszanina dwuatomowych cząsteczek azotu  i tlenu  o wypadkowej masie molowej  Cząsteczki helu, gazu szlachetnego, są jednoatomowe:  Jak wiadomo, stosunek  dla gazu jednoatomowego wynosi w przybliżeniu 5/3, a dla gazu dwuatomowego 7/5. Po podstawieniu tych danych otrzymujemy

a więc poszukiwana częstotliwość

Oznaczmy przez  i   ciśnienia cząstkowe wodoru i helu w chwili początkowej, przez  i   ich masy molowe, a jednakowe masy obu gazów przez  Z równań Clapeyrona wynika, że stosunek ciśnień cząstkowych wynosi

Ciśnienie całkowite  jest sumą ciśnień cząstkowych:  Stan równowagi nastąpi, gdy liczba cząsteczek wodoru w jednostce objętości po obu stronach przegrody będzie taka sama, a tym samym jednakowe będą ciśnienia wodoru  w obu naczyniach. Oznaczając przez  i   masy wodoru w pierwszym i drugim naczyniu w stanie końcowym , z równań Clapeyrona otrzymujemy:

Z treści zadania wiemy, że po ustaleniu się równowagi ciśnienie w pierwszym naczyniu zmalało dwukrotnie:  stąd (uwzględniając, że ) mamy  Korzystając ponownie z równań Clapeyrona dla helu w pierwszym naczyniu i wodoru w drugim, otrzymujemy

zatem

Porównanie wyrażeń na stosunek mas wodoru w obu naczyniach daje ostateczny wynik:

Warunek maksymalnej pracy odpowiada doprowadzeniu gazu do temperatury  i ciśnienia  w procesie odwracalnym. Na przykład, można najpierw rozprężyć gaz adiabatycznie do temperatury  a następnie dokonać sprężenia lub rozprężenia izotermicznego, aby osiągnąć ciśnienie  Pomijając na razie pracę powietrza atmosferycznego, pracę przy rozprężeniu adiabatycznym  znajdziemy jako różnicę początkowej i końcowej energii wewnętrznej:

Praca przy rozprężeniu izotermicznym jest natomiast równa całce

gdzie  jest objętością gazu po rozprężeniu adiabatycznym, a  – objętością końcową. Z równania przemiany adiabatycznej w zmiennych -

znajdujemy

Po podstawieniu    dochodzimy do wzoru na pracę przy rozprężeniu izotermicznym

Dla przyjętych danych wielkość ta jest ujemna, bo  (mamy więc sprężenie izotermiczne, a nie rozprężenie). Od sumy  należy jeszcze odjąć pracę powietrza atmosferycznego

Ostatecznie

Ten sam wynik otrzymamy także w innych procesach odwracalnych prowadzących do wyrównania ciśnień i temperatur. Na przykład, można by najpierw w przemianie izochorycznej odwracalnie obniżyć temperaturę do  (tzn. zastosować doskonały silnik cieplny korzystający z gazu w zbiorniku jako grzejnika, a z otoczenia jako chłodnicy), a następnie zastosować rozprężenie izotermiczne jak poprzednio.