Nowości z przeszłości

Prawdopodobieństwo?

Mechanika kwantowa wprawiała i ciągle jeszcze wprawia matematyków w zakłopotanie, dostarczając tym samym wielu interesujących problemów. Zaczęło się od Diraca, który różniczkował funkcje nieróżniczkowalne i otrzymywał sensowne wyniki. Potrzeba było lat, by rzecz uporządkować: stworzono (zob. Delta 10/1975) teorię dystrybucji, na gruncie której poczynania Diraca nabrały głębokiego matematycznego sensu.

Heisenberg swą niewinnie wyglądającą zasadą nieoznaczoności dostarczył zajęcia logikom: koniunkcja dwóch zdań. z których każde jest prawdziwe lub fałszywe może tu nie być (zob. Delta 4/1975) ani prawdziwa, ani fałszywa. Do dziś trwają poszukiwania "logiki kwantowej". I choć sformułowano tu wiele interesujących propozycji - żadna z nich nie zdobyła sobie jeszcze pełnych praw obywatelskich.

Nie koniec na tym. Born wprowadza do mechaniki kwantowej probabilistyczną interpretację występujących w niej obiektów (np. funkcji falowej, zob. artykuł J. Kijowskiego w tym numerze). Interpretacja ta rozwiązuje fizykom pewne kłopoty pojęciowe, ale rodzi nowe kłopoty matematyczne. Pierwszy oczywisty problem wynika z zasady nieoznaczoności. Jak wiemy - w zwykłym rachunku prawdopodobieństwa koniunkcja dwu zdarzeń jest zdarzeniem. Koniunkcja dwu "zdarzeń kwantowych" wcale "zdarzeniem kwantowym" być nie musi.

Rozpatrzmy rzecz nieco dokładniej. Wyobraźmy sobie dla uproszczenia pojedynczą cząstkę poruszającą się po prostej, oznaczmy jej położenie przez $q,$ a pęd przez $|p.$ Dla dowolnego $|є> 0$ zdanie A: "w chwili $|t$ cząstka znajduje się w przedziale $|⟨α ,α +є⟩$ " określa pewne "zdarzenie kwantowe", bowiem teoretycznie możliwy jest pomiar położenia z dowolną dokładnością. Również dla dowolnego $|η> 0$ zdanie $B$ : "w chwili $|t$ pęd cząstki zawarty jest w przedziale $⟨β,β + η⟩$ " też opisuje pewne zdarzenie kwantowe, bo i pęd można mierzyć dowolnie dokładnie. Mimo to, jeśli tylko $|є$ i $η$ są dostatecznie małe to formalnie napisana koniunkcja $A ∩B$ zdarzeń $|A$ i $|B$ "zdarzeniem kwantowym" nie jest. Koniunkcja ta ma bowiem sens wtedy i tylko wtedy gdy

ħ єη⩾ --. 2

Okazuje się jednak, że kłopot matematyczny jest tu mniejszy, niż się na pierwszy rzut oka wydaje: można tak zmodyfikować elementarny rachunek prawdopodobieństwa, że zasada nieoznaczoności nie jest sprzeczna z nowym "kwantowym rachunkiem prawdopodobieństwa". Przy tym ten nowy rachunek jest wystarczająco podobny do starego na to. aby nie razić ekstrawagancją.

W zwykłym rachunku prawdopodobieństwa, przypomnijmy, rodzina zdarzeń scharakteryzowana jest następująco:

Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych $|Ω$ oraz pewna rodzina $|Z$ podzbiorów zbioru $|Ω$ zwanych zdarzeniami. Przy tym zakłada się. że

1): $∅$ i $|Ω$ są zdarzeniami;
2): jeśli $|A$ jest zdarzeniem, to $A ′= Ω −A$ też jest zdarzeniem;
3): jeśli $|A,B$ są zdarzeniami, to również $A ∪ B$ jest zdarzeniem.

Prawdopodobieństwo natomiast jest taką funkcją $P Z ⟨0,1⟩,$ że

4): $P (Ω) = 1;$
5): jeśli $A$ i $|B$ są zdarzeniami i $A ∩ B =∅ ,$ to $P (A∪ B) = P(A) + P(B).$

Kwantowy rachunek prawdopodobieństwa wygląda podobnie. Dany jest zbiór zdarzeń elementarnych $Ω ,$ oraz pewna rodzina $Zk$ podzbiorów $|Ω$ zwanych zdarzeniami kwantowymi (krótko: k-zdarzeniami). Przy tym żąda się. aby spełnione były następujące warunki:

1): $∅$ i $|Ω$ są k-zdarzeniami;
2): jeżeli $|A$ jest k-zdarzeniem, to $′ A$ też jest k-zdarzeniem;
3'): jeśli $A,B$ są k-zdarzeniami i $A ∩ B = ∅,$ to $A ∪B$ też jest k-zdarzeniem.

Prawdopodobieństwo natomiast jest taką funkcją $P Zk ⟨0,1⟩,$ że

4): $P (Q) = 1;$
5): jeśli $A$ i $B$ są k-zdarzeniami i $A ∩ B =∅ ,$ to $P (A∩ B) = P(A) + P(B),$

Różnica jest więc bardzo niewielka. Sprowadza się ona jedynie do zastąpienia warunku 3) warunkiem 3'), który na gruncie mechaniki kwantowej jest całkiem do przyjęcia. O ile bowiem z warunków 1), 2), 3) wynika, że jeśli $|A$ i $B$ są zdarzeniami, to również $A ∩ B$ jest zdarzeniem, to z warunków 1), 2), 3'), wynika jedynie, że jeśli $|A,B$ są k-zdarzeniami, to $|A∩ B$ jest k-zdarzeniem wtedy i tytko wtedy, gdy $|A∪ B$ jest k-zdarzeniem. Warunek 3') zakazuje więc co prawda rozpatrywać alternatywy takich k-zdarzeń, których koniunkcja nie jest k-zdarzeniem, ale jak się okazuje, w tych problemach mechaniki kwantowej, w których obowiązuje zasada nieoznaczoności nie powstaje nigdy potrzeba rozważania takich alternatyw. Prawdopodobieństwo kwantowe ma natomiast dokładnie te same własności rachunkowe, co prawdopodobieństwo zwykłe i operowanie nim, jeśli się dobrze określi rodzinę zdarzeń kwantowych, nic nastręcza żadnych trudności (zob. zadanie na końcu artykułu).

Gdzie więc - i czy rzeczywiście - powstają zapowiedziane istotne kłopoty z probabilistyczną interpretacją mechaniki kwantowej?

Tu dygresja. "Funkcja $δ$ Diraca" - póki nie skonstruowano dystrybucji - w świadomości jej użytkowników była funkcją, "ale nie zawsze". Można było np. powiedzieć, że dla $x ≠ 0$ jest ona funkcja równa tożsamościowo zeru; nie miało sensu natomiast stwierdzenie, że dla $|x = 0$ przyjmuje ona jakąkolwiek wartość. W gruncie rzeczy to, czy była, czy nic była funkcją zależało od fizycznej interpretacji kontekstu, w którym występowała.

Wartość matematyki jako narzędzia używanego przez przyrodników polega zaś właśnie na tym, że pojęcia matematyczne mają jednoznaczny sens, który jest niezależny od przyrodniczej interpretacji tych pojęć. Obiekt badany przez matematykę albo jest funkcją albo nią nic jest. Trzeciej możliwości nic ma.

Matematycy musieli więc uznać, że $δ$ funkcją nie jest i że mechanika kwantowa posługuje się pewną klasą obiektów ogólniejszą niż klasa funkcji. I dlatego stworzyli teorię dystrybucji; teorię ogólniejszą niż teoria funkcji.

Z prawdopodobieństwem jest podobnie. Jest to pojęcie matematyczne o jednoznacznie określonych własnościach. Jeśli więc coś w mechanice kwantowej jest podobne do prawdopodobieństwa, "ale nie zawsze" - to nie jest to już prawdopodobieństwo. Dlatego właśnie wykonaliśmy krok polegający na wprowadzeniu prawdopodobieństwa kwantowego. Okazuje się jednak, że jest to krok zbyt mały.

Poważne kłopoty pojawiają się bowiem dopiero wtedy, gdy wychodzi się poza elementarny rachunek prawdopodobieństwa i zaczyna rozważać zmienne losowe.

Przypomnijmy: Zmienną losową nazywa się taka funkcja $X Ω R,$ że dla każdego przedziału $⟨a,b⟩ ⊂R$ zbiór $|{ω ∈Ω X( ω) ∈⟨a,b⟩}$ jest zdarzeniem.

Zmienną losową nazywa się ciągłą, jeśli istnieje taka funkcja $f R R,$ która jest nieujemna i dla każdego przedziału $|⟨a,b⟩$

b P ({ω∈ Ω X( ω)∈ ⟨a,b⟩}) = f (x)dx qa

Funkcję $f$ nazywa się gęstością rozkładu zmiennej $|X.$

Jeśli więc (wracamy do przykładu pojedynczej cząstki) $|ψ(q)$ jest funkcją falową, a - zgodnie z przyjętą interpretacją - $2 | f(q) = ψ(q)$ jest gęstością rozkładu położenia cząstki na prostej, to $b pa ψ(q) 2dq$ jest prawdopodobieństwem tego, że cząstka znajduje się w przedziale $|⟨a,b⟩.$

Interpretacja ta oznacza, że położenie $|q$ traktowane jest jako zmienna losowa. Analogicznie pęd $p$ jest teraz drugą zmienną losową, o gęstości $|g(p) = Φ(p) 2.$ Przy tym funkcja $Φ$ jest jednoznacznie wyznaczona przez funkcję $ψ.$ Tak więc cząstka opisywana jest parą ciągłych zmiennych losowych $|(q,p)$ o znanych rozkładach $ψ(q) 2$ i $Φ(p) 2$ .

W rachunku prawdopodobieństwa parę zmiennych losowych $(X, Y)$ nazywa się zmienną dwuwymiarową. Gęstością rozkładu dwuwymiarowej zmiennej losowej $(X,Y )$ nazywa się taką nieujemną funkcję $h(x, y),$ że dla dowolnych liczb $a < b$ i $c < d$ zachodzi równość

b d P({ω ∈ Ω (X(ω )∈ ⟨a, b⟩) i (Y (ω) ∈⟨c,d⟩)}) = q q h(x, y)dydx a c

Dowodzi się przy tym, że $| f(x) = p +∞ h(x, y)dy −∞$ jest gęstością rozkładu zmiennej $|X,$ a $+∞ g(x) = p−∞ h(x, y)dx$ jest gęstością rozkładu zmiennej $|Y.$

Okazuje się, że gdyby zamiast prawdopodobieństwa wykorzystać do definicji zmiennej losowej prawdopodobieństwo kwantowe, to definicja ta pozostałaby poprawna. Nasuwa się więc przypuszczenie, że jeśli zacznie się używać kwantowych zmiennych losowych, to wszystkie ich własności formalne będą zgodne z twierdzeniami mechaniki kwantowej.

Byłoby tak. gdyby wszystkie kłopoty z interpretacją prawdopodobieństwa wynikały z zasady nieoznaczoności. Niestety - tak nie jest.

Wróćmy do przykładu. Mamy do czynienia z parą zmiennych losowych (q, p) o znanych gęstościach rozkładu. Powstaje naturalne pytanie: Czy istnieje gęstość rozkładu zmiennej dwuwymiarowej (q, p), tzn. funkcja nieujemna h(q,p) taka, że

(1): $+∞ 2 p−∞ h(q,p)dp = ψ(q)$ i $+∞ 2 p−∞ h(q,p)dq = Φ (p)$
(2): Spełniony jest podany wyżej związek między $|Φ$ i $ψ$ oraz zasada nieoznaczoności;
(3): Wartości średnie obserwowalnych kwantowych zmiennych losowych obliczane zgodnie z definicją wartości średniej w rachunku prawdopodobieństwa są równe wartościom średnim tych zmiennych obliczanym w formalizmie operatorowym mechaniki kwantowej.

Odpowiedzi na to pytanie udzielił L. Cohen. Jest ona następująca:

Istnieją co prawda funkcje spełniające (1) i (2), ale nic istnieje funkcja spełniająca (1), (2) i (3). A więc nie można posuwać się zbyt daleko w probabilistycznych interpretacjach mechaniki kwantowej. Co prawda można traktować zarówno $|p$ jak i $|q$ jako zmienne losowe, ale rozpatrując $p$ i $q$ łącznie - wychodzimy już z rachunku prawdopodobieństwa, para $|(q,p)$ zmienną losową nie jest.

I dlatego nie obejdzie się tu bez nowej teorii: teorii ogólniejszej niż rachunek prawdopodobieństwa. Takiej teorii jeszcze nie ma.

Zadanie 1. Udowodnić, że jeśli $Z$ jest zwykłą rodziną zdarzeń, $|P$ - zwykłym prawdopodobieństwem oraz $A ⊂ Z$ ustalonym zdarzeniem takim, że $P (A) > 0,$ to rodzina

{B ∈Z P (A∩ B) = P(A) ⋅P(B)}

(tzn. rodzina zdarzeń niezależnych od $A$ ) jest kwantową rodziną zdarzeń.

Zadanie 2. Pokazać, że jeśli $A, B$ są k-zdarzeniami oraz $A ⊂ B,$ to $|B− A$ jest k-zdarzeniem.