Delta mi!

Skrót pracy nagrodzonej złotym medalem w konkursie Polskiego Towarzystwa Matematycznego i redakcji Delty na najlepszą pracę maturalną w roku 1978.

W 1964 roku amerykańsko-brytyjski matematyk Neil Sloane zaczął kolekcjonować znane ciągi liczb całkowitych. Niewinne hobby, motywowane zbadaniem własności kilku ciągów, które pojawiły się podczas pracy nad jego rozprawą doktorską, szybko przerodziło się w duże przedsięwzięcie. W efekcie zostały opublikowane dwie książki A Handbook of Integer Sequences (wydana w roku 1973, zawierająca 2372 ciągi) oraz The Encyclopedia of Integer Sequences (z 1995 roku, 5847 ciągi). W 1996 roku, gdy liczba zgromadzonych ciągów przekroczyła 10 000, dalsze ich przechowywanie w postaci książkowej stało się bardzo niepraktyczne...

Do jednych z najstarszych problemów w historii matematyki należy niewątpliwie zaliczyć równania diofantyczne, czyli równania o dziedzinie rozwiązań ograniczonej do liczb całkowitych. Obecną nazwę zawdzięczają one Diofantosowi, greckiemu matematykowi żyjącemu w III wieku naszej ery w Aleksandrii. Swoje rozważania na temat takich równań Diofantos zawarł w serii ksiąg pod tytułem Arytmetyka. Studiując jedną z nich, Pierre de Fermat - żyjący w XVII wieku francuski prawnik i matematyczny samouk - uznał, że pewne zawarte w niej równanie nie może mieć rozwiązań, o czym raczył poinformować przyszłych czytelników w słynnej uwadze, zamieszczonej na marginesie (czytanej przezeń książki oraz niniejszego artykułu).

"Matematyka wedyjska" to umowna nazwa zbioru algorytmów, które można zastosować, aby rozwiązać pewne rachunkowe problemy. Reguły te zostały sformułowane w XX wieku przez hinduskiego duchownego Bharatiego Kriszna Tirtha, który twierdził, że są one zapisane w hinduskich świętych księgach, Wedach.

W matematycznym świecie od zawsze znajdowało się mnóstwo tajemnic czekających na odkrycie. Tak zawiłych i zdradzieckich, że tylko szaleńcy mogli w ogóle wyobrazić sobie ich istnienie. Tymi szaleńcami byli nieustraszeni matematycy, którzy już od stuleci (jeżeli nie tysiącleci) szukają, rozwiązują i wyjaśniają zagadki, które większość ludzi już dawno uznawała za beznadziejne przypadki (lub są one tak abstrakcyjne, że w żaden sposób nieosiągalne).

Dotarliśmy do ostatniej części cyklu, w którym prezentujemy wybrane przykłady zaskakujących relacji pomiędzy różnymi, pozornie bardzo odległymi, obszarami matematyki. Nie wypada jednak zakończyć bez poświęcenia należytej uwagi dziedzinie teorii liczb. Jak bowiem matematyka nazywana jest często królową nauk, tak o teorii liczb mówi się często jako o królowej matematyki. A królowa ma, oczywiście, wielu służących.

Nie ma słynniejszego twierdzenia niż Wielkie Twierdzenie Fermata (WTwF) i tego nie zamierzam tu dowodzić. Zacznę po prostu od sformułowania faktu, który od 1995 roku jest rzeczywiście twierdzeniem za sprawą Andrew Wilesa, a wcześniej przez około trzy i pół wieku był hipotezą zajmującą głowy największych matematyków i rzesze amatorów...

Czy jest coś weselszego na twarzy drugiego człowieka od jego uśmiechu? To w pewnym sensie filozoficzne pytanie potrafi wzbudzić wiele zainteresowania u każdego człowieka. Wszak każda osoba posiada swój własny kanon piękna oraz szczęścia...

Żonglerka to starożytna sztuka, jej początki wydają się dorównywać wiekiem ludzkości, znane są np. rysunki żonglującej kobiety znalezione w egipskim grobowcu datowanym na XII wiek p.n.e. Wystarczy kilka kamieni i trochę praktyki, nie jest więc wcale zdumiewające, że ludzie zaczęli się tym zajmować bardzo dawno.

Starożytni Egipcjanie sprzed 4000 lat uznawali tylko ułamki proste, czyli takie, które w liczniku miały jedynkę. Oczywiście, były też inne ułamki, ale o nich uczeni mówić nie chcieli – przedstawiali je jako sumę ułamków prostych. Nie byłoby w tym niczego nadzwyczajnego, gdyby nie pretensjonalne wymaganie, aby w owej sumie każdy ułamek był inny.

3, 7, 31, 211, 2311, ... – jaki jest następny wyraz tego ciągu? Jakiś czas temu taka zagadka pojawiła się na jednej z polskich rozrywkowych stron internetowych. Niemal od razu w komentarzach pod nią rozpoczął się spór o poprawne, prawdziwe rozwiązanie. Czytelnik zapewne zechce podjąć wyzwanie samodzielnego odnalezienia następnego elementu ciągu i jego ogólnej reguły. Zatem zatrzymajmy się tu i pozwólmy sobie na chwilę namysłu; w dalszej części tekstu pojawi się rozwiązanie (autorowi niniejszego tekstu zajęło kilka dłuższych chwil znalezienie formuły).

Rozwiązywanie równań diofantycznych jest jednym z ważniejszych problemów klasycznej teorii liczb. Czytelnicy tego artykułu na pewno słyszeli o równaniu Pella  czy równaniu Fermata

Chyba wszyscy lubimy liczby pierwsze. Szczególne wrażenie robią te naprawdę duże, wydają się skrywać w sobie jakąś nadzwyczajną tajemnicę: dlaczego akurat one stały się swego rodzaju wybrańcami spośród innych liczb i mają tak niezwykłe właściwości?

Zamieszczony w poprzednim numerze, jako zapowiedź tego numeru, widoczny obok kwadrat magiczny jest dla  (lub ) i   złożony z samych liczb pierwszych.

W Delcie 3/1979 zamieściliśmy największy znany wówczas kwadrat magiczny złożony z różnych liczb pierwszych – było ich 169. Co więcej, był to kwadrat „cebulkowy”. A dziś – proszę: istnieje już „cebulkowy” kwadrat magiczny aż o trzy większy, złożony zatem z dwustu pięćdziesięciu sześciu liczb pierwszych. I jak tu nie wierzyć w postęp!

Sophie Germain (1776–1831), wbrew ówczesnym obyczajom matematyk, fizyk, metalurg i autorka ciekawych szkiców o kulturze, prawie na każdym kroku musiała udowadniać swą wiedzę i bronić swych dokonań przed rzeszami niedowiarków.

Twierdzenie o jednoznaczności rozkładu na czynniki pierwsze w zbiorze liczb naturalnych wypowiada się najprościej w następujący sposób: każdą liczbę naturalną różną od jedności możemy przedstawić w postaci iloczynu  liczb pierwszych na jeden tylko sposób, o ile rozkłady, różniące się kolejnością czynników, uważać będziemy za równe...

Co to jest liczba pierwsza? Najkrótsza definicja mówi, że to taka liczba naturalna, która ma dokładnie dwa dzielniki. Każda liczba naturalna ma przynajmniej dwa dzielniki: 1 i samą siebie. Wyjątkiem jest jedynka, dla której te dwa dzielniki okazują się tym samym.

Załóżmy, że suma kw adratów trzech liczb naturalnych jest podwojonym kwadratem pewnej liczby naturalnej. Czy możliwe jest, żeby wówczas suma czwartych potęg tych trzech liczb była podwojoną czwartą potęgą tej samej liczby?