Delta mi!

Drugie prawo Keplera, mówiące o tym, że w równych odstępach czasu promień wodzący planety, poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola (patrz ilustracja na następnej stronie), było w dużym stopniu ignorowane w astronomii przednewtonowskiej. Na przykład w dziele Astronomia Carolina, z którego korzystał Newton, jest ono wyraźnie nieobecne. Wynikało to z jego niewielkiej przydatności do obliczeń położenia planet na ich orbitach.

Niech autorowi będzie wolno cofnąć się w czasy lśniących w słońcu chromowanych obręczy kół rowerów (lub wózków dziecinnych). Obręcze te rzucały rozmaite odblaski na powierzchnię szosy. Bogactwo obserwowanych kształtów zachęcało do podjęcia próby opisania ich w języku matematyki. Zróbmy to teraz, choć poniewczasie - bo współcześnie trudniej o okazję ujrzenia tego zjawiska.

Geometria różniczkowa zajmuje się własnościami zbiorów opisanych przy użyciu funkcji różniczkowalnych (zwykle wielu zmiennych). Zbiory można opisywać m.in. przy użyciu układów równań lub za pomocą parametryzacji.

Jeszcze w r. 1908, pisząc o wspólnym brzegu dwu obszarów płaskich (z których jeden jest ograniczony), Schoenf1ies uważał, że można ten brzeg rozłożyć na dwa luki krzywe (przez luk krzywy rozumiał w tym przypadku kontinuum nie rozcinające płaszczyzny lub, co na jedno tu wychodzi, kontinuum rożne od całego brzegu). Był to błąd, który sprostował Brouwer w pracy Źur Analysis SitlIs"(Mathematische Annalen 68 (1910),422-434)...

Tak zwana "kryptografia krzywych eliptycznych" to bardzo modne i popularne pojęcie, które rzeczywiście jest ważne, ale - niestety - o którym mówi się najczęściej niezwykle powierzchownie, bez wchodzenia w "detale matematyczne". Niniejszy artykuł próbuje pójść takiemu podejściu pod prąd - chcemy w elementarny sposób objaśnić, o co tak naprawdę chodzi z tymi krzywymi eliptycznymi.

Tym razem o paraboli...

Oto kilka zadań związanych z istnieniem i własnościami pewnych krzywych lub łamanych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Jeśli chcemy wyznaczyć długość pewnej krzywej lub łamanej, często warto ją rozwinąć albo w inny sposób rozprostować.

Jeden ze sposobów obliczenia pola odcinka paraboli, czyli ograniczonej spośród części, na jakie dzieli płaszczyznę parabola i jej cięciwa, zaproponowany przez Archimedesa, jest następujący: przez środek cięciwy (nazwijmy ją ) prowadzimy prostą równoległą do osi paraboli i uzyskujemy w przecięciu z parabolą punkt . Pole odcinka paraboli to pola trójkąta Dlaczego tak jest i jak on na to wpadł?

Ruch obiegowy Ziemi wokół Słońca przy stałym kierunku osi obrotu planety i nachyleniu do płaszczyzny orbity sprawia, że w ziemskiej pogodzie pojawiają się cyklicznie pory roku. Obecnie promienie słoneczne padają na północną półkulę pod coraz większym kątem, średnia temperatura rośnie, dzień staje się dłuższy, a noc krótsza, co naturalnie skłania do rozważań o odchodzącej zimie i odradzającym się z nadchodzącą wiosną życiu. Zadziwiające, że jednym z wykorzystywanych przez praktycznie wszystkie kultury symbolem wiosny i nowego życia jest jajo...

Na nieskończoności opierają się konstrukcje większości obiektów analizy matematycznej, choć często w niejawny sposób. Przyjrzyjmy się choćby ciągłości – pojęciu na pierwszy rzut oka z nieskończonością niezwiązanemu. Można powiedzieć, że funkcja jest ciągła, jeśli „nie rozrywa” dziedziny...

Nie od dziś wiadomo, jak zbudować najprostszy zegar słoneczny. Słońce, w swym pozornym ruchu po niebie, porusza się ze stałą prędkością kątową w płaszczyźnie prostopadłej do osi wskazującej północny biegun niebieski...

W podróży bardzo istotną rolę odgrywa mapa, na której określa się i zaznacza aktualną pozycję, rozmaite odległości (np. odległość przebytą, do mijanych obiektów, pozostałą do celu podróży) oraz kąty (np. kursy, namiary).

Zaczęło się od okręgu. Wykres funkcji sinus okazał się okręgiem. Jak to możliwe? Okazuje się, że czasem lekkie odstąpienie od utartego punktu widzenia może nas daleko zaprowadzić. Wystarczy, na przykład, wybrać inny niż prostokątny układ współrzędnych do przedstawiania wykresów funkcji.