Delta mi!

Zaraz po Słońcu i Księżycu Wenus jest najjaśniejszym obiektem widzianym na niebie. Oglądana nocą, przez wielu ludzi traktowana jest omyłkowo jako bardzo jasna gwiazda. Okrąża Słońce w odległości 0,723 j.a., więc jest planetą wewnętrzną (znajdującą się bliżej Słońca niż Ziemia). Dlatego z punktu widzenia obserwatora ziemskiego znajduje się ona na niebie w pobliżu Słońca - czasem bliżej, a czasem dalej.

W matematyce często rozróżnia się rzeczy liniowe od nieliniowych. W szkole uczy się o funkcjach liniowych i nieliniowych, ale te pojęcia są dużo szersze i oprócz teorii dotyczą także wielu sytuacji praktycznych. Układ liniowy można przeanalizować w ten sposób, że rozkłada się go na części, analizuje działanie każdej z nich osobno, a na końcu dodaje do siebie poszczególne wyniki. W układzie nieliniowym taka analiza może dać niepoprawne wyniki.

Mała Basia podeszła do taty z naburmuszoną miną. Nie czekając na jego pytanie, zaczęła się żalić:
- Tato, Kasia oszukuje, źle rzuca monetą, żeby rzadziej wynosić śmieci!

Ding Dong! Uwaga, nadjeżdża pociąg, prosimy nie zbliżać się do krawędzi peronu! Na pewno każdy nie raz słyszał ten komunikat i zastanawiał się, czy pędzący pociąg faktycznie może zrobić komuś krzywdę. W końcu wydawałoby się, że jedyne zagrożenie może wynikać z odepchnięcia śmiałka, lekceważącego ów zakaz, przez pęd powietrza wywołany przez pociąg. Otóż jest zupełnie odwrotnie! I tu uwaga - jest to jedno z niewielu praw, których nie radzę sprawdzać doświadczalnie. Przynajmniej nie dosłownie...

Stworzenie papierowego modelu płaszczyzny hiperbolicznej, o czym piszemy w tym numerze Delty, wymaga nieco umiejętności manualnych. Papierowy model, niestety, ma bardzo poważną wadę: jest podatny na uszkodzenia. Dlatego prezentujemy konkurencyjny sposób produkcji płaszczyzny hiperbolicznej, zaproponowany po raz pierwszy przez Dainę Taiminę w 2001 roku. Pani Taimina, obserwując uczestników warsztatów, jak cierpliwie łączą papier taśmą klejącą, wymyśliła sposób na porządną i trwałą płaszczyznę hiperboliczną. Ten sposób wymaga szydełka, podstawowej umiejętności liczenia i znajomości zaledwie dwóch ściegów: łańcuszka i półsłupka.

Od czasów starożytnych Greków wiadomo, że jest pięć brył foremnych: czworościan, sześcian, ośmiościan, dwunastościan i dwudziestościan. W każdym wierzchołku może się spotkać 3, 4 lub 5 trójkątów, 3 czworokąty lub 3 pięciokąty. Dużo później skompletowano wielościany półforemne, jednak i tu w żadnym z nich nie pojawia się siedmiokąt. Spróbujmy dać mu szansę...

W poprzedniej części tej opowieści o nieskończonościach rozważaliśmy twierdzenie Cantora, które stanowi, że żaden zbiór nie jest równoliczny ze zbiorem jego podzbiorów co symbolicznie notujemy Szczególnie zajmowaliśmy się przypadkiem, gdy jest zbiorem liczb naturalnych

Liczby przedstawiać można na wiele sposobów. Jako dzieci liczyliśmy na palcach czy używając patyczków lub liczydła. Ten sposób przedstawiania liczb - przez fizyczną liczbę pewnych obiektów - nazywany jest kardynalnym. Jest bardzo prosty: tworzy się słowo lub symbol oznaczające jeden, a następnie powtarza się odpowiednią ilość razy...

W poprzednim odcinku sprawdziliśmy, że zbiór liczb naturalnych jest równoliczny ze zbiorem liczb wymiernych (także zbiór liczb całkowitych jest równoliczny z każdym z nich). Inaczej mówiąc, można ustawić liczby wymierne w pary z liczbami naturalnymi w taki sposób, że każda liczba wymierna stoi w parze z dokładnie jedną liczbą naturalną i każda liczba naturalna stoi w parze z dokładnie jedną liczbą wymierną. Można też powiedzieć, że wszystkie liczby wymierne da się zakwaterować w hotelu Hilberta.

Kontynuując naszą przygodę z nieskończonością, spróbujmy wypracować podstawowe narzędzia do jej badania. Przyda nam się w tym celu pewna analogia pomiędzy zbiorami nieskończonymi a tymi skończonymi. Wyobraźmy sobie dwa skończone zbiory osób. Powiedzmy, że elementami pierwszego z nich są: Aldona, Balbina, Cezaria oraz Delfina, a elementami drugiego: Abelard, Baldwin, Cyryl oraz Dezyderiusz. Od razu zauważamy, że te zbiory mają tyle samo elementów. Jak dojść do tego wniosku? Można policzyć elementy w każdym ze zbiorów i w obu przypadkach wyjdzie cztery. A co by było, gdybyśmy nie umieli liczyć do czterech? Czy jest inna metoda pozwalająca na stwierdzenie, że te zbiory mają tyle samo elementów?

Jednym z naturalnych skojarzeń z nieskończonością są duże, bardzo duże liczby. Tak bardzo, że trudno je sobie wyobrazić, a intuicja nie pomaga. Możemy jednak o nich pomyśleć. Czytając doniesienia o wydatkach z budżetu państwa lub tym bardziej o światowej gospodarce, łatwo pogubić się w milionach, miliardach i bilionach. I chociaż wiemy, że w bilionie mieści się aż milion milionów, mało kto jest w stanie to sobie wyobrazić. Wszystkie te liczby wpadają w tę samą kategorię - liczb dużych na tyle, że nie znajdujemy dla nich zastosowania w zwyczajnym codziennym życiu.

Na nieskończoność natrafiono już w starożytności. Nic dziwnego, że była traktowana z podejrzliwością, w końcu wszystko w prawdziwym świecie wydawało się skończone. Bywała źródłem problemów, paradoksów i sporów (na przykład, paradoks Zenona z Elei). W końcu, w drugiej połowie XIX wieku, nieskończoność udało się nieco oswoić (nie mylić z ujarzmić), weszła do kanonu matematyki, a właściwie w jej fundamenty. Owo oswajanie zaczęło się od Georga Cantora...

Nieskończoność... Co myślisz, gdy słyszysz to słowo? Może myślisz o rozgwieżdżonym niebie? Może próbujesz wyobrazić sobie coś bardzo, ale to bardzo dużego? A może myślisz o ludzkiej wyobraźni i sile naszego umysłu? George Cantor postanowił potraktować nieskończoność jak coś "zwykłego" i po prostu ją zbadał. Pójdziemy jego śladem. Zastanówmy się... Czy każda nieskończoność jest taka sama? Czy też może są większe i mniejsze? Czy wszechświat jest nieskończony? Co to jest nieskończoność? Na wiele pytań dotyczących nieskończoności udzielono wyczerpujących odpowiedzi. Na część z nich odpowiedzi nie są znane. O niektórych wiadomo, że nie da się na nie odpowiedzieć po prostu "tak" lub "nie".

Spójrzmy na poniższe obrazki i nie zastanawiając się, co właściwie przedstawiają, spróbujmy zgadnąć, jak powinien wyglądać kolejny.

Gdy Galileusz trafił na studia (zresztą medyczne), obowiązkowym przedmiotem na pierwszych latach była znajomość (dosłowna!) dzieł Arystotelesa, który wszystko, również problemy kinematyki, objaśniał filozoficznie. Gniewało to Galileusza i postanowił się zemścić. Co ciekawe - udało mu się to zrealizować: wskazał tezę Arystotelesa w oczywisty sposób błędną.

"Nie będziemy gadać niepotrzebnych rzeczy."

St.I. Witkiewicz, Szewcy, 1934

Skończyłam! - krzyknęła triumfalnie Agatka do swojego brata, Bartka. Dziewczynka regularnie domaga się od starszego chłopca rozmaitych ciekawostek matematycznych, których ten dowiaduje się w liceum...

Każdy z nas obcował z działaniami pisemnymi na liczbach naturalnych - dodawaniem, odejmowaniem, mnożeniem i dzieleniem. Z pisemnym potęgowaniem można się rozprawić, wielokrotnie stosując pisemne mnożenie. Dzieląc dwie liczby całkowite, możemy otrzymać pełne rozwinięcie dziesiętne (okresowe lub skończone) albo uzyskać dowolną dokładność wyniku. Tak, działania pisemne są sprytne. A co z pierwiastkowaniem? Czy istnieje metoda na pisemne wyznaczanie kolejnych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby Odpowiedź brzmi: tak.

Dawno, dawno temu żył sobie beztrosko król wraz ze swoją piękną córką. Jak to czasem w zbyt szczęśliwych królestwach bywa, pewnego razu czarnoksiężnik przybył na dwór, żeby porwać królewnę i uwięzić ją w swojej upiornej wieży. Zgodnie z zasadami dobrego wychowania mrocznych czarodziei, do których należał, musiał dać mieszkańcom królestwa możliwość ocalenia królewny przed swoim niecnym planem...

- Lolek, chodź, pokażę Ci jedną stronę w Internecie...

Każdy zna twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta: jest on równy sumie kątów wewnętrznych do niego nie przyległych (Rys. 1), co bierze się z faktu, że suma kątów przyległych jest równa sumie kątów trójkąta. Z twierdzenia tego wynika nietrudno twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym: kąt wpisany jest równy kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Są takie problemy, w których najtrudniejsze jest znalezienie rozwiązania. Do tej klasy należy wiele zagadek matematycznych. Gdy już znajdziemy rozwiązanie, mamy całą maszynerię pozwalającą na sprawdzenie, czy jest ono poprawne. Są jednak takie problemy, w których znalezienie rozwiązania to dopiero połowa drogi. Druga połowa, często trudniejsza, to przekonanie innych osób do przyjęcia rozwiązania. To dosyć częsta sytuacja w przypadku wyników analizy danych. Jak sobie z tym problemem radzić?

Zabawmy się Pitagorasem, budując ustrojstwo przedstawione obok...

Przypomnijmy starą zagadkę o przeprawie przez rzekę...

Kiedy miałem kilka, kilkanaście lat, wraz ze starszym bratem często graliśmy w grę. Należało w swojej kolejce podać liczbę większą od wskazanej przez poprzednika. Przegrywał oczywiście ten, kto nie był w stanie podać liczby większej. Czasami ponosiła nas fantazja i mówiliśmy "nieskończoność" albo "nieskończoność plus nieskończoność". Dziś już wiem, że nieskończoność liczbą nie jest, a działania na nieskończonościach są bardziej wyrafinowane, niż podejrzewałem. Gdyby i Tobie, drogi Czytelniku, przyszło kiedyś wymienić (albo usłyszeć) jakąś dużą liczbę, możesz sięgnąć do poniższej listy. Nie są to bowiem byle jakie liczby...

Historyjka na marginesie poniżej przedstawia tzw. problem podziału stawki - jedno z zadań, jakimi żywił się raczkujący rachunek prawdopodobieństwa u początków swojego istnienia. W źródłach europejskich pojawia się on po raz pierwszy w podręczniku Summa de Arithmetica, Geometrica, Proportioni, et Proportionalita włoskiego franciszkanina, Luki Paccioliego (1445-1517).

Dany jest okrąg...

W IV wieku przed naszą erą za sprawą Platona panowało powszechne przekonanie, że sfera niebieska - jako doskonała - dopuszcza jedynie doskonałe ruchy planet, jedynych ruchomych obiektów na niej. Ruchy doskonałe to ruchy jednostajne i odbywające się po doskonałych trajektoriach. Doskonała trajektoria to taka, która może ślizgać się po sobie - na sferze tę własność mają tylko okręgi. Powstawał więc problem, jak wytłumaczyć nieregularności ruchu planet na niebie, a w szczególności powstawanie pętli, o jakich jest mowa w artykule Tomasza Kwasta.

Gdy na lustrzaną sferę pada promień światła, odbija się on tak, że kąt między nim a przedłużeniem promienia sfery przechodzącego przez punkt, w którym promień pada, jest równy kątowi między tym przedłużeniem a promieniem odbitym, przy czym wszystko odbywa się w jednej płaszczyźnie wyznaczonej przez padający promień i środek sfery. Geometrycznie sytuacja jest więc dwuwymiarowa.

Zapewne każdy zetknął się z informacją, że planety kreślą na niebie tajemnicze pętle. Spodziewamy się, że nie dzieje się to "w oczach", bo takie zjawiska toczą się dość majestatycznie. Jeżeli jednak ktoś ma cierpliwość, to owe pętle może osobiście zaobserwować.

Prawie każdy wielościan ma talię (to wśród nich jest nawet częstsze niż u ludzi!), czyli pewien jego płaski przekrój ma obwód mniejszy od sąsiednich (dokładniej: niewielka zmiana płaszczyzny tnącej daje wielokąt o większym obwodzie - a bardziej po ludzku: nałożona w takim miejscu gumka recepturka nie zsunie się). Dla sześcianu taką talią jest jego przekrój będący sześciokątem foremnym (narysuj ją!).

to nie tylko Konrad Wallenrod, lecz także łamigłówka popularna wśród litewskich drwali. Redakcja Delty ma wystrugane przez jednego z nich sześć drewienek, takich jak na rysunku, z których można złożyć widoczny niżej krzyżak, choć nie jest to zadanie łatwe.

Tradycyjnie fraktale kojarzą nam się (często) z ładnymi rysunkami figur, które wykazują pewien zestaw cech odróżniających je od zwykłych obiektów. Nie precyzujemy tutaj uniwersalnego zestawu, gdyż sama definicja fraktala nie jest uniwersalna. W większości sytuacji chcemy, aby fraktal miał złożoną strukturę, spełniał pewne cechy samopodobieństwa oraz by nie dało się go zbyt prosto opisać geometrycznie. Mimo to często można go opisać względnie prosto pewnymi regułami rekurencyjnymi wykonywanymi na obiekcie startowym (lub zestawie takich obiektów).

Wojtek leżał na podłodze i czytał właśnie książkę o grafach, którą wypożyczył z biblioteki. Alicja, jego młodsza siostra, która przeglądała w tym czasie portal społecznościowy, spytała nagle...

Beta i Bit siedzieli na ławce w parku rozrywki. Jak zahipnotyzowani patrzyli na olbrzymią kolejkę górską. Tory kolejki zwijały się w siedem olbrzymich pętli, a każda pętla wykręcona była w innym kierunku. Po torach z olbrzymią prędkością pędził sznur wagoników wypełnionych krzyczącymi ludźmi.

Mam pewien sekret, może lepiej nawet powiedzieć: tajemnicę. Nie mogę sobie pozwolić, żeby ktoś ją poznał. Sprawa jest poważna, ujawnię ją dopiero za pewien czas, gdy tylko Świat będzie na to gotowy. Może to rozwiązanie pewnego ważnego problemu matematycznego, zresztą, nie będę dzwonił kluczami do tajemnic. W każdym razie nie mogę sobie również pozwolić, żeby na wypadek mojej śmierci ta informacja przepadła bezpowrotnie. Co robić?

Wiele przedmiotów zawdzięcza swe istnienie kompozycji dwóch pozornie niewspółistniejących ze sobą idei. Louis Braille połączył koncepcję zapisu graficznego, czyli odczytywanego za pomocą wzroku, ze sposobem zapisywania wiadomości zaprojektowanym dla ludzi niewidomych, którzy korzystają ze zmysłu dotyku. W rezultacie powstał alfabet dla niewidomych, który można odczytać także za pomocą wzroku. Podobnie narodził się pomysł na zbadanie obrazów inwersyjnych w różnych metrykach...

Wybitny niemiecki fizyk, Hermann von Helmholtz żył w latach 1821-1894. Nie sposób wymienić tu choćby w skrócie jego wkładu do nauki. Podziw teoretyków budzi współudział Helmholtza w sformułowaniu zasady zachowania energii. Doświadczalnicy z pewnością pamiętają zbudowany przez niego i do dziś używany układ cewek kołowych, pozwalający na wytwarzanie w dużej objętości pola magnetycznego o stałej indukcji albo o stałym gradiencie. Na każdym zaś duże wrażenie robi nieodmiennie skonstruowana przez Helmholtza karuzela obracana niewidzialnymi falami dźwiękowymi, określana dziś jego nazwiskiem.

Zamiast analizować, czy gra jest sprawiedliwa, czy nie, zamiast szukać najlepszych strategii graczy, można stworzyć pewną maszynę, która część tej pracy wykona za nas. Trzeba jej objaśnić zasady, a potem z nią grać, niekoniecznie najlepiej - w końcu jeszcze nie przeanalizowaliśmy gry. Maszyna, grając, zapamiętując i wyciągając wnioski z przegranych oraz wygranych (co śmiało można zakwalifikować jako uczenie się), prędzej czy później zorientuje się, jak grać możliwie najlepiej, a więc ogrywać nas, o ile to tylko możliwe.

Jestem astronomką, ale wieczorem kładę się spać około dwudziestej trzeciej, a wstaję o siódmej rano. Owszem, zajmuję się obserwacjami, ale moje obserwacje wykonują się zdalnie i pojawiają w moim komputerze. Zupełnie inny tryb życia ma moja kotka...

Jeśli mam przybliżyć komuś pojęcie złożoności czasowej, zazwyczaj opowiadam mu następujący problem. Dany jest ciąg liczb całkowitych a naszym celem jest znaleźć jego fragment - czyli spójny podciąg - którego suma elementów jest jak największa.

"Matematyka wedyjska" to umowna nazwa zbioru algorytmów, które można zastosować, aby rozwiązać pewne rachunkowe problemy. Reguły te zostały sformułowane w XX wieku przez hinduskiego duchownego Bharatiego Kriszna Tirtha, który twierdził, że są one zapisane w hinduskich świętych księgach, Wedach.

Mówi się, że origami powstało dwa tysiące lat temu wraz z wynalezieniem papieru. W tym kontekście wydaje się zaskakujące, że początek odkrywania matematyki stojącej za składaniem papieru przypada dopiero na lata osiemdziesiąte zeszłego stulecia. Dziś gałąź nauki zwana origami obliczeniowe (ang. computational origami) rozwija się bardzo prężnie.

Czysty zeszyt, cyrkiel, linijka, kątomierz, liniuszek - standardowy szkolny ekwipunek lekcji geometrii. Ale istnieją również inne geometrie, w których do konstrukcji figur nie jest potrzebne żadne oprzyrządowanie. Jedną z nich jest geometria dziewięciu punktów, gdzie bez linijki czy cyrkla można "konstruować" całkiem dokładnie koła, trójkąty i inne figury.

Chyba każdy patrzył kiedyś w kalejdoskop - prostokątne lustra odbijające różnobarwne wzory powstałe z przesypujących się koralików. Nie znam nikogo, kto mając w ręku owo urządzenie, byłby w stanie powstrzymać się przed choćby najmniejszym obróceniem nim i zerknięciem przez małe oczko na otrzymany efekt. A gdyby odwrócić sytuację i zbadać, jak zmieni się obraz, gdy zamiast koralikami poruszymy lustrami znajdującymi się w kalejdoskopie? Zacznijmy od wyprawy do szklarza i wyboru bohatera kalejdoskopowych przygód - po starannym castingu wygrywa żaba.

Rzucamy monetą. Jeśli wypadnie orzeł - wygrywam ja, jeśli reszka - wygrywa mój przeciwnik. Czy jest to gra sprawiedliwa? Uważam, że tak. A oto inna gra. Rzucamy kostką do gry. Jeśli wypadnie szóstka - wygrywa mój przeciwnik, jeśli co innego - wygrywam ja. W moim odczuciu ta gra jest niesprawiedliwa, niekorzystna dla mojego przeciwnika. Czy zgadzacie się ze mną? Jeśli tak, to w porządku, rozumiemy się doskonale...

Czy "mgnienie oka" trwa długo, czy krótko? - To zależy dla kogo! Dla człowieka jest to najkrótsza chwila, jaką potrafi on sobie uzmysłowić.

Na rynku w Babilonie dwóch kupców, Nabonit i Enkidu, sprzedawało swoje towary. Łączyła ich wielka przyjaźń, ale też przy lada okazji lubili się sprzeczać i kłócić. Ostatnio powstał między nimi spór o sposób ważenia towarów...

Chociaż są to pojęcia abstrakcyjne (bo przecież nikt nie widział ani punktu, ani odcinka), przemawiają dobrze do wyobraźni i zgadzają się ze zdrowym rozsądkiem. I aż dziw bierze, jak wiele wokół nas zjawisk, które zdają się ostrzegać: uwaga to co wydaje się takie oczywiste, wcale nie musi być prawdziwe.

Gdzie te dawne dobre czasy, kiedy zmęczeni i przemarznięci myśliwi wracali z ubitym niedźwiedziem z polowania i grzali się przed ogniskiem, wielbiąc boską, życiodajną moc ognia? Co z tego zostało w Waszych miejskich mieszkaniach? Grzeją Was głupie żelazne rury - kaloryfery, świecą Wam nudne żarówki...