Delta mi!

Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych nie jest równoliczny ze zbiorem wszystkich liczb naturalnych

Każda nauka ścisła ma własne metody potwierdzania swoich tez. Dla większości z nich weryfikacja twierdzeń polega na konfrontacji z rzeczywistością. Matematyka jest jedyną z tych nauk, w której owa rzeczywistość nie jest ostateczną (ani jakąkolwiek) metodą sprawdzania zdań aspirujących do wzbogacenia zasobu wiedzy matematycznej. Weryfikatorem twierdzeń jest dowód. Mowa tu o tzw. matematyce czystej lub teoretycznej; zauważmy jednak, że fizyczna rzeczywistość weryfikuje stosowalność instrumentów matematycznych, nie ich wartość matematyczną.

Matematyka bardzo się w XIX wieku zmieniła. Algebra, badająca dotąd przede wszystkim metody rozwiązywania równań wielomianowych, dzięki pracom Evariste'a Galois, George'a Boole'a i innych wytworzyła struktury abstrakcyjne: grupy, pierścienie, algebry Boole'a, oderwane od obliczeń liczbowych, reprezentujące za to pewne ogólne własności działań (na dowolnych obiektach). Geometria utraciła euklidesową jednoznaczność, odnajdując się w światach dotąd nieznanych i nieprzewidywanych, zwanych geometriami nieeuklidesowymi. Analiza, nabierając coraz bardziej potrzebnej ścisłości, wyszła poza granice intuicji, uwzględniając szerszy repertuar funkcji (niegdyś uważanych za ciągłe z definicji) i dopuszczając zaskakujące konstrukcje, jak choćby funkcje wszędzie ciągłe i nigdzie nieróżniczkowalne.

Zawód matematyka, jak powiada jeden z uprawiających go kolegów, polega na rozwiązywaniu zadań z treścią. Takich zadań pełne są podręczniki do nauczania matematyki na różnych poziomach edukacji. Zazwyczaj jednak matematyk zajmuje się zadaniami, których do tej pory nikt nie rozwiązał; najczęściej zaczynają się one od "wykaż, że". Skąd się biorą? Z zadziwienia, z zachwytu, wreszcie z ciekawości, która rodzi pytania: "jak?", "dlaczego?". Takie zadziwienie, taki zachwyt czy taka ciekawość pojawiają się w każdym wieku, wystarczy mieć otwarte oczy i otwarty umysł, wsparte zainteresowaniem popychającym do dążenia tropem zauważonych śladów.

Matematyka, zwłaszcza tzw. szkolna, wypracowała przez lata procedury rozwiązywania określonego typu zadań. Gdy rozpoznajemy problem jako równanie kwadratowe, w głowie pojawia się hasło "bekwadratminusczteryace" i już wszystko wiadomo, niezależnie od tego, jak w rzeczywistości nazwaliśmy współczynniki funkcji kwadratowej...

Legenda powiada, że gdy bóg Brahma po raz pierwszy poruszył czas, umieścił na jednej z trzech diamentowych igieł, umocowanych na wspólnej podstawce, 64 złote krążki. Na podstawce spoczywał krążek najszerszy, a nad nim lśniły pozostałe o coraz mniejszych średnicach. Bóg polecił mnichom z górskiej samotni, by bez spoczynku przekładali krążki, tak aby wszystkie znalazły się na drugiej diamentowej igle, z zachowaniem tego samego ułożenia. Gdy zadanie zostanie zakończone, nastąpi koniec pierwszego świata, a na następny, wskrzeszony przez Brahmę, wypadnie czekać wiele tysięcy lat...

Numer Delty poświęcony paradoksom nie byłby kompletny, gdyby nie pojawiła się w nim paradoksalna gra. Przyjrzyjmy się zatem pewnej grze, inspirowanej paradoksami teoriomnogościowymi, które rozkwitły w początkach XX wieku.

Gdy w połowie XIX wieku odkryto geometrie nieeuklidesowe, zainteresowanie matematyków zaczęło zwracać się w stronę podstaw matematyki. Na jakich podstawach można lub należy oprzeć matematykę? Na tym tle zrodził się w latach 20. XX wieku tzw. program Hilberta, postulujący zbudowanie sformalizowanej matematyki na fundamencie aksjomatycznym i wyprowadzanie z aksjomatów twierdzeń jedynie za pomocą ściśle określonych reguł. Tak zbudowana teoria powinna być zupełna i niesprzeczna i te jej własności powinny dać się udowodnić.

Ian Stewart, którego czytelnikom Delty przedstawiać nie trzeba, stosował w swoich książkach różne formy literackie: eseje, wykłady, listy... Tym razem wybrał formę najprostszą: zbiór wszelkiego rodzaju ciekawostek, zadań, informacji, także tytułowych zagadek (do których książka się absolutnie nie ogranicza), wszystko pod wspólnym hasłem: Matematyka, której uczyliście się w szkole, to jeszcze nie wszystko

Filozof i logik angielski Bertrand Russell określił matematykę jako dziedzinę, w której „nie wiadomo, o czym się mówi i czy to, co się mówi, jest prawdą”. Ten zgrabny opis miał wyrażać – w skrócie właściwym aforyzmom – fakt, iż matematyka jest nauką abstrakcyjną, niezależną od rzeczywistości i zajmującą się wyprowadzaniem (dowodzeniem) twierdzeń na podstawie ściśle określonego sposobu wnioskowania, nie interesuje jej natomiast związek tych twierdzeń z tzw. życiem.

Cóż prostszego, jak stworzyć zbiór z dowolnych prawdziwych lub wymyślonych obiektów! Czyż zbiór nie jest po prostu pewną konstrukcją myślową? Wystarczy zatem pomyśleć o owych obiektach jako o elementach jednego zbioru – i już.

Nierzadko zbywamy kandydatów na twierdzenia matematyczne niemal pogardliwym określeniem: oczywiste! Liczba jest większa od Oczywiste! Środek okręgu opisanego na trójkącie leży wewnątrz trójkąta? Oczywiste!

Tangram to stara chińska zabawa, polegająca na układaniu zadanych figur z siedmiu klocków, ułożonych na rysunku 1 w kwadrat.

Większość znanych gier ma tę miłą własność, że kończy się po skończonej liczbie ruchów. Gdyby jednak gra polegała na tym, że gracze na przemian wskazują liczby naturalne, a wygrana na tym, że przeciwnik nie może już wskazać liczby większej, to taka gra musiałaby trwać nieskończenie długo (jeśli na chwilę zapomnimy o prawach biologii...).

Definicja paradoksu obejmuje różne sytuacje, powody i postacie paradoksów. Wobec tej różnorodności form spróbujmy dokonać klasyfikacji.

Jeśli macie w biurku trzy szuflady, a chcecie do nich włożyć zeszyty z, powiedzmy, sześciu przedmiotów, to nie ma rady: w co najmniej jednej szufladzie muszą znaleźć się zeszyty z co najmniej dwóch przedmiotów.