Przy oznaczeniach

(1)

mamy związki:

z których wynika tożsamość

(2)

Gdy liczby są naturalne, czynnik musi być kwadratem liczby naturalnej; więc Zgodnie z (1), jest to suma liczb których iloczyn wynosi 1. Zatem to pierwiastki trójmianu kwadratowego

(3)

istnieją (w ) gdy ; i są wówczas dodatnie. Wyznaczamy je zwykłą metodą, podnosimy do trzeciej potęgi, i dostajemy wniosek:

(4)

Rozumowanie można odwrócić. Dla dowolnej liczby naturalnej określamy wzorami (4) parę liczb rzeczywistych, wzajemnie odwrotnych: oraz (jedna ze znakiem plus w nawiasie, druga ze znakiem minus). Wówczas są pierwiastkami trójmianu (3); ich suma wynosi Liczby zdefiniowane wzorami (1), spełniają równość (2); a ponieważ zatem prawa strona wzoru (2) jest kwadratem liczby całkowitej, więc liczba jest całkowita (liczba oczywiście też).

Wzór (4), z parametrem przedstawia ogólną postać liczb o rozważanej w zadaniu własności.