Niech  będzie jedną z szukanych funkcji. Oznaczmy wartości  kolejno przez ; oznaczmy ponadto    Kładąc w równaniu  oraz  dostajemy

(1)

Każda czwórka  w której  daje informację w postaci równości  Biorąc czwórki          otrzymujemy w ten sposób związki

(2)

Natomiast czwórki        dają zależności

(3)

Jeżeli  to z pierwszej równości (1) oraz ze związków (2) wnosimy kolejno, że ; ; ; ; ; ;  Tak więc ; skoro zaś  ta wspólna wartość wynosi 1.

Jeżeli natomiast  to korzystamy z zależności (3) oraz (1) i łatwo stwierdzamy, że ; ;  Zatem na zbiorze  funkcja  jest stała, o wartości 1 lub 0. Każda liczba naturalna  daje się zapisać w postaci  dla pewnych  Przez oczywistą indukcję uzyskujemy wniosek, że  jest funkcją tożsamościowo równą 1 lub 0. Każda z nich spełnia zadane równanie.