Można to uzasadnić również inaczej. Oznaczmy każdą kulę białą liczbą +1, a każdą kulę niebieską liczbą -1. Zauważmy, że po wykonaniu każdego ruchu nie zmienia się iloczyn liczb przypisanych kulom znajdującym się w pudełku. Jeżeli bowiem wyjmujemy dwie kule białe lub dwie kule niebieskie, to iloczyn liczb na tych kulach będzie równy +1, czyli liczbie przypisanej kuli białej. Zatem po wyjęciu dwóch kul jednakowego koloru i dodaniu kuli białej, iloczyn liczb przypisanych kulom znajdującym się w pudełku nie zmieni się. Analogicznie, jeżeli wybierzemy z pudełka dwie kule różnych kolorów i dołożymy kulę niebieską, to iloczyn liczb na kulach znajdujących się w pudełku również nie zmieni się. Oznacza to, że iloczyn liczb na kulach na początku gry jest równy liczbie na ostatniej kuli. Iloczyn jedenastu liczb +1 i jedenastu liczb -1 jest równy -1, czyli ostatnia kula w pudełku ma znak -1. Jest to zatem kula niebieska.