Tak, dla każdej funkcji łatwo wskazać funkcję o wymaganych własnościach. Niech będzie rosnącym ciągiem wszystkich potęg liczb pierwszych:

Funkcja (o własności gdy ) jest wyznaczona przez ciąg wartości ; zaś podany warunek multyplikatywności nie stawia na owe wartości żadnych ograniczeń. Wobec tego konstruujemy taki ciąg indukcyjnie. Niech będzie dowolną liczbą naturalną większą od

Załóżmy, że liczby …, zostały już określone. Patrzymy na zbiór wszystkich liczb postaci gdzie jest iloczynem różnych liczb ze zbioru Określamy jako dowolną liczbę naturalną większą od wszystkich takich liczb

Wybrany ciąg wartości wraz z warunkiem multyplikatywności, jednoznacznie generuje funkcję Spełnia ona także pozostały z zadanych warunków; jeśli bowiem liczba zostanie zapisana jako iloczyn gdzie wówczas