Załóżmy, że taka liczba  istnieje i zapiszmy ją w postaci nieskracalnego ułamka  o dodatnim liczniku i mianowniku. Dla dowolnych liczb całkowitych  liczba

jest wymierna jako iloczyn lub iloraz liczb wymiernych. Jedno z podstawowych twierdzeń elementarnej teorii liczb mówi, że:

Istnieją więc takie liczby całkowite  że  zatem liczba  jest wymierna. Niech  oznaczają takie względnie pierwsze liczby naturalne, że  Wtedy  Wobec tego, że  liczba  jest dzielnikiem liczby  Również liczba  jest dzielnikiem  bo  Stąd wynika, że  Nie jest to możliwe, bo  (liczba  nie jest całkowita!), zatem