W rozwiązaniu tego zadania odwołamy się do teorii grafów. Skorzystamy z powszechnie znanego i nietrudnego w dowodzie faktu: w dowolnym grafie prostym o
wierzchołkach i
krawędziach istnieje cykl. Przypomnijmy, że w grafie prostym nie ma podwójnych krawędzi ani pętli.
Dla dowodu nie wprost załóżmy, że usunięcie dowolnej z kolumn spowoduje powstanie tablicy o dwóch identycznych wierszach. Oznacza to, że dla każdej z kolumn istnieje para wierszy, która różni się między sobą tylko w tej kolumnie. Rozważmy więc graf, którego wierzchołkami są wiersze naszej tablicy i połączmy dwa wiersze krawędzią, jeżeli dla pewnej kolumny są one tymi wierszami, które różnią się tylko w niej. Jeśli dla pewnej kolumny istnieje więcej takich par wierszy, to wybierzmy z nich dowolną i tylko między nimi poprowadźmy krawędź w naszym grafie. Oczywiście, jedna para wierszy zostanie połączona krawędzią co najwyżej raz - nie może bowiem zdarzyć się sytuacja, w której dwa wiersze różnią się na tylko jednej pozycji dla dwóch różnych pozycji. Utworzona przez nas struktura jest więc
-wierzchołkowym grafem prostym o
krawędziach. Z przytoczonego wcześniej faktu wynika istnienie cyklu w tym grafie. Innymi słowy, istnieje ciąg wierszy o numerach
o tej własności, że dla dowolnego
wiersze
oraz
różnią się na dokładnie jednej pozycji (przyjmujemy, że
). Oznaczmy przez
numer pozycji, na której różnią się wiersze o numerach
i
Każda kolejna para wierszy różni się już w innej kolumnie niż
-ta. Począwszy więc od wiersza o numerze
każdy następny wiersz w naszym ciągu zawiera tą samą liczbę
na pozycji
-tej. Ale wiersze
oraz
różnią się również w innej kolumnie niż
-ta, a zatem wiersz
zawiera liczbę
na pozycji
Otrzymana sprzeczność kończy rozwiązanie zadania.