Tadeusz Boy-Żeleński odnotowuje następujący przykład sztuki translatorskiej Stanisława Wyspiańskiego. Pierwsze zdanie tragedii Pierre’a Corneille’a Cyd brzmiałoby w dosłownym przekładzie z francuskiego na polski:

W przekładzie Wyspiańskiego fragment ten brzmi

Zostawiamy tymczasem poezję, by przyjrzeć się zagadnieniu skrótu w dziedzinie matematyki. Na przykład, jakie jest najkrótsze przedstawienie danej liczby naturalnej? Pytanie nie jest całkiem precyzyjne (co to jest przedstawienie?), ale ma pewien potencjał sensu. Jasne jest w szczególności, że odpowiedź zależy od własności danej liczby bardziej niż od jej rozmiaru. Na przykład, wypisanie cyfr dziesiętnego rozwinięcia liczby

przekroczyłoby ramy tego artykułu, a nawet zapewne wszystkich numerów Delty (dla porównania: liczbę atomów we Wszechświecie szacuje się „jedynie” przez  ), ale przecież przedstawiliśmy ją powyżej jednoznacznie. W konsekwencji niedługie przedstawienie będzie miała też na pozór bardziej skomplikowana liczba

utworzona przez  początkowych cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby  którą możemy zapisać w postaci  Czytelnik zauważy oczywiście, że odwołujemy się tutaj do pewnych „kodów kulturowych” (notacja potęgowania, definicja liczby  ). O tym, że droga ta może być ryzykowna, świadczy tzw. paradoks Berry’ego podany przez Bertranda Russella (G.G. Berry, któremu Russell przypisał autorstwo tego paradoksu, był bibliotekarzem w oksfordzkiej Bodleian Library):

Aby uniknąć paradoksu, spójrzmy na możliwe przedstawienie liczb naturalnych globalnie, jak na funkcję  gdzie  jest zbiorem wszystkich słów, jakie można utworzyć z liter pewnego skończonego alfabetu  Dla jednoznaczności potrzeba, by funkcja  była różnowartościowa. Interesować nas będzie długość  słowa  Mamy, na przykład, standardowe przedstawienia liczb w   -arnym systemie pozycyjnym (np. binarnym lub dziesiętnym), gdzie  Mogłoby się wydawać, że w każdej liczbie dopatrzymy się jakiejś „regularności” (czyż nie uruchamiamy inwencji, by zapamiętać kod PIN?), która pozwoli zapisać ją istotnie krócej. Jednak prosty rachunek wykaże pewną barierę.

Pozwolimy sobie teraz na dygresję i pokażemy, że Lemat o nieskracalności dostarcza jednego z wielu możliwych argumentów na

Powróćmy do postawionego na wstępie pytania o najkrótszy opis liczby  Widzieliśmy już, że każde przedstawienie ma przykłady trudno skracalne, a z drugiej strony drastyczny skrót jest czasem możliwy. Zauważmy jednak, że rozważanie dowolnej funkcji różnowartościowej  jest nieco za ogólne, oczekujemy przecież, by z przedstawienia  dało się odtworzyć  Ściślej mówiąc, interesują nas przedstawienia  dane razem z algorytmem, który na podstawie  oblicza  w jakimś zrozumiałym dla nas przedstawieniu (np. dziesiętnym). W pewnym sensie  stanowi więc program, jaki może posłużyć do obliczenia Idąc tym tropem, ustalmy sobie jakiś język programowania (np. Pascal lub C). Zachęcamy Czytelnika, by dla rozgrzewki napisał w swoim ulubionym języku program generujący wspomnianą wyżej liczbę  (Nie radzimy go jednak uruchamiać  ) Ogólnie, dla dowolnej liczby  niech  będzie programem o najmniejszej długości, który bez żadnych dodatkowych danych generuje liczbę  jeśli takich programów jest więcej, wybieramy pierwszy w porządku leksykograficznym. Funkcja  zależy wprawdzie od wyboru języka programowania, jednak z ogólnej teorii obliczalności wynika, że długości programów wskazywanych przez funkcje dla sensownych języków różnią się co najwyżej o stałą (zależną od tych języków, ale nie od  ). Powyższe przedstawienie liczb naturalnych wprowadził Andriej N. Kołmogorow w badaniach nad losowością (Kołmogorow użył jako języka programowania abstrakcyjnego formalizmu maszyn Turinga). Z Lematu o nieskracalności wynika bowiem, że dla nieskończenie wielu  jest

gdzie  jest rozmiarem alfabetu, jakiego używamy w naszym języku programowania. Można z grubsza powiedzieć, że dla takich liczb optymalnym (lub prawie optymalnym) rozwiązaniem jest banalny program w rodzaju write . Liczby te są „nieskracalne” z powodu braku jakiejkolwiek regularności, a więc losowe. Funkcja  zaproponowana przez Kołmogorowa jako miara losowości, jest dziś powszechnie nazywana złożonością Kołmogorowa. Subtelniejsza analiza dowodu Lematu pokazuje, że liczby trudno skracalne dominują pod względem gęstości. Paradoks polega na tym, że trudno jest wygenerować konkretne przykłady właśnie ze względu na losowy charakter tych liczb.

Złożoność Kołmogorowa rozwiązuje w pewnym sensie problem najkrótszego opisu, ma jednak pewną wadę, która ogranicza jej praktyczne zastosowanie. W pewnym sensie „dopada” nas tu paradoks Berry’ego.

Uwaga. Czytelnik rozpoznał zapewne w powyższym rozumowaniu schemat paradoksu Berry’ego:  jest najmniejszą liczbą, której nie da się wygenerować programem krótszym od  Ta liczba rzeczywiście istnieje, nie da się jej jednak obliczyć z 

Podobne rozumowanie prowadzi do alternatywnego dowodu Twierdzenia Gödla o niezupełności, któremu poświęcony jest artykuł Wiktora Bartola Eubulides, Richard, Gödel (w tym samym numerze). Spostrzegł to Gregory Chaitin, który w tym samym czasie miał podobne idee co Kołmogorow (z tym że Kołmogorow był wtedy – w latach sześćdziesiątych XX wieku – u szczytu swojej długiej kariery, a Chaitin był jeszcze uczniem college’u). Założenia o sile wyrazu teorii są tu trochę inne, ale równie łatwe do uzyskania z prostych arytmetycznych aksjomatów.

Zakładamy mianowicie, że istnieje formuła  reprezentująca relację  tzn. w teorii  dowodzi się  wtedy i tylko wtedy, gdy

Inaczej niż w oryginalnym dowodzie Gödla, nie otrzymaliśmy tutaj explicite konstrukcji niezależnej formuły  Jednak argument – wywodzący się z paradoksu Berry’ego – jest chyba nieco prostszy i bardziej intuicyjny, jako że odwołuje się do tempa wzrostu funkcji w miejsce tajemniczego błędnego koła z paradoksu kłamcy. I tu, i tam widzimy, jak paradoksy, przy odpowiedniej interpretacji, stają się konstruktywnymi argumentami.