Nie można.
Wystarczy, jeśli znajdziemy dwa czworościany o różnych objętościach, dla których wspomniane 5 wielkości są jednakowe. Dobrym pomysłem jest ograniczenie się do klasy czworościanów równościennych, bowiem dla nich promień każdej ze sfer dopisanych jest 2 razy większy od promienia sfery wpisanej. Wówczas dane 5 wielkości redukuje się do jednej.

Teraz można by użyć wzorów na odpowiednie wielkości dla czworościanów równościennych, ale prowadzi to do zawiłych rachunków. Znacznie lepiej przeprowadzić następujące rozumowanie. Rozważmy sześcian o krawędzi długości i sferę dopisaną do czworościanu równościennego (a nawet foremnego) o środku w punkcie . Oczywiście objętość czworościanu jest równa . Nietrudno też wyliczyć (np. wyrażając objętość czworościanu na dwa sposoby), że promień tej sfery jest równy . Poprowadźmy teraz pewną płaszczyznę styczną do tej sfery, która przecina półprostą w pewnym punkcie , który leży bardzo daleko, zaś krawędzie i w punktach i . Niech będzie punktem na płaszczyźnie takim, że czworokąt jest prostokątem, zaś , , takimi punktami, że wielościan jest prostopadłościanem. Zauważmy, że długości odcinków i są ograniczone z dołu przez promień sfery o środku w , czyli , zaś odcinek może być dowolnie duży. Wynika stąd, że objętość prostopadłościanu moze być dowolnie duża. To samo można powiedzieć o objętości czworościanu równościennego wpisanego w ten prostopadłościan. Jednakże promień sfery dopisanej do niego o środku w jest równy , tyle samo wynoszą promienie pozostałych sfer dopisanych, zaś promień sfery wpisanej jest 2 razy mniejszy. Znaleźliśmy więc dwa czworościany równościenne, które mają sfery wpisane o jednakowych promieniach, jak i sfery dopisane o równych promieniach; a jednak ich objętości są różne.