Kąty płaskie w przestrzeni»Zadanie 7
o zadaniu...
- Zadanie olimpijskie: 53-II-5
- Zadanie pochodzi z artykułu Kąty płaskie w przestrzeni
- Publikacja w Delcie: czerwiec 2011
- Publikacja elektroniczna: 31-05-2011
- Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (53 KB)
Niech
będzie liczbą krawędzi czworościanu o długości
a
liczbą ścian rozwartokątnych. Wyznaczyć największą możliwą
wartość sumy
w którym
Wykażemy, że więcej się nie
da. Przypuśćmy, że istnieje czworościan, dla którego dana suma jest
większa niż
Wynika stąd w szczególności, że liczba krawędzi
długości
jest równa co najmniej
Jeśli jest
krawędzi
długości
to nie ma kątów rozwartych. Jeśli jest
krawędzi
długości
to mogą być co najwyżej dwa kąty rozwarte. Zatem liczba
krawędzi długości
musi być równa
Tym samym
liczba kątów rozwartych musi być równa
Zatem żadne
trzy krawędzie nie mogą więc tworzyć trójkąta równobocznego. To
wyzancza nam jedną (z dokładnością do permutacji wierzchołków)
konfigurację:
