Zadanie

Narzędzia
Obiekty: Wielokąty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

Klub 44M - zadania XII 2017»Zadanie 751

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania XII 2017
Publikacja w Delcie: grudzień 2017
Publikacja elektroniczna: 2 grudnia 2017
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (65 KB)

Trójkąt równoboczny o boku długości $|n$ został podzielony (prostymi równoległymi do boków) na $2 n$ trójkątów o boku 1 (trójkątów jednostkowych). Wierzchołkom powstałej siatki zostały przyporządkowane różne liczby rzeczywiste ( $(n + 1)(n + 2)/2$ różnych liczb). Trójkąt jednostkowy nazwiemy zorientowanym dodatnio, jeśli - idąc wzdłuż jego brzegu, w kierunku wzrastania liczb przy wierzchołkach (tj. startując od najmniejszej i idąc przez średnią do największej) - mamy jego wnętrze po lewej stronie. Dla ustalonej liczby naturalnej $n$ wyznaczyć najmniejszą i największą możliwą wartość liczby trójkątów jednostkowych zorientowanych dodatnio.

Rozwiązanie

Utworzona siatka składa się z $K = 3n(n + 1)/2$ krawędzi i rozcina płaszczyznę na $T + 1$ obszarów: $2 T = n$ trójkącików jednostkowych oraz składową nieograniczoną, nazywaną oceanem. Każdą krawędź traktujemy jako odcinek skierowany, od końca, oznaczonego liczbą mniejszą, do końca, oznaczonego liczbą większą. W pobliżu każdej krawędzi kładziemy marker na obszarze, który do niej przylega po stronie lewej (względem zwrotu strzałki).

Łącznie położyliśmy $K$ markerów. Rysunek ilustruje sytuację, gdy $n | = 4$ (więc $K ,T = 16 = 30$ ), wraz z przykładowym ponumerowaniem wierzchołków; kropki oznaczają markery; zacienione są trójkąciki zorientowane dodatnio (w sensie sprecyzowanym w treści zadania).

Na każdym trójkąciku zorientowanym dodatnio znalazły się dwa markery; na trójkąciku zorientowanym ujemnie - jeden marker. Więc jeśli mamy $|D$ trójkącików zorientowanych dodatnio, to w obrębie całego dużego trójkąta znalazło się $T + D$ markerów. Pozostałe, w liczbie $K , − T − D$ są na oceanie.

Każdy marker na oceanie odpowiada krawędzi zorientowanej ujemnie względem wnętrza dużego trójkąta - czyli takiej, że obchodząc cały jego brzeg i mając jego wnętrze po lewej stronie, idziemy niezgodnie ze zwrotem strzałki (odnotowujemy spadek wartości przy wierzchołkach). Może być tylko jeden taki odcinek, mogą to też być wszystkie z wyjątkiem jednego (czyli $|3n− 1$ ). Dostajemy nierówności $⩽3n−1 1 ⩽ K −T − D$ ; po podstawieniu $|K ,T = n2 = 3n(n +1)/2$ i prostym przekształceniu uzyskujemy dwustronne oszacowanie

n2+3n−2 n2-−-3n+-2 ⩽2. 2 ⩽ D

Po obu stronach jest możliwa realizacja równości: wystarczy oznaczyć wierzchołki siatki, leżące na brzegu dużego trójkąta, liczbami tworzącymi ciąg monotoniczny (po wystartowaniu z dowolnie wybranego wierzchołka oraz ustaleniu kierunku obchodzenia), z jedynym zakłóceniem monotoniczności przy zamknięciu cyklu. Liczby po obu stronach napisanej nierówności stanowią odpowiedź na pytanie postawione w zadaniu. [Warto zauważyć, że liczby, przyporządkowane wierzchołkom wewnętrznym, nie mają już dla wartości $D$ żadnego znaczenia].