O własnościach prostej Simsona»Zadanie 2
o zadaniu...
- Zadanie pochodzi z artykułu O własnościach prostej Simsona
- Publikacja w Delcie: listopad 2016
- Publikacja elektroniczna: 1 listopada 2016
- Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (2417 KB)
W czworokącie
opisanym na okręgu prosta
przechodząca przez wierzchołek
przecina bok
w punkcie
oraz półprostą
w punkcie
Punkty
są środkami okręgów wpisanych odpowiednio w trójkąty
Dowieść, że punkt przecięcia wysokości trójkąta
leży na prostej 


przecina półprostą
w punkcie
Trójki punktów
oraz
są, oczywiście, współliniowe. Oznaczmy przez
przecięcie prostych
i drugiej stycznej poprowadzonej z punktu
do okręgu o środku w punkcie
Łatwo zauważyć, że
więc
Oznacza to, że półprosta
jest również styczna do okręgu o środku w punkcie
stąd punkty
i
są współliniowe. Wobec tego
można opisać okrąg. Aby dokończyć rozwiązanie, wystarczy zauważyć, że obrazy punktu
w symetrii względem prostych
oraz
leżą na prostej
i zastosować twierdzenie Steinera.