Przyjmijmy

Oczywiście to długości fragmentów boków od wierzchołków do punktów styczności z okręgiem wpisanym. Oznaczając przez środek i promień okręgu wpisanego, mamy zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa

Lewa strona zadanej nierówności jest sumą trzech składników. Przekształcamy wyrażenie pod pierwiastkiem w pierwszym składniku:

(1)

Pole trójkąta wyraża się wzorami (wzór Herona) oraz ; stąd Kontynuujemy przekształcenie (1):

Analogicznie wyrażają się pozostałe dwa składniki. Dowodzona nierówność przybiera postać

po uproszczeniu:

(2)

- co jest banalną prawdą, skoro

Biorąc trójkąt, w którym najmniejszy kąt jest bliski zeru, uzyskujemy w nierówności (2) stosunek lewej do prawej strony dowolnie bliski jedności (trójkąt niewiele różni się od odcinka, a obie strony (2) są bliskie długości owego odcinka). Stąd wniosek, że stała (w oryginalnej nierówności) jest optymalna.