Niech będą wszystkimi prostymi, które zawierają co najmniej dwa spośród danych punktów. Dla dowodu nie wprost załóżmy, że Zauważmy, że wówczas możliwe jest przyporządkowanie każdemu punktowi jednej z liczb rzeczywistych w taki sposób, aby suma na każdej prostej była równa ale aby nie wszystkie liczby były równe Wynika to natychmiast z faktu, iż jednorodny układ równań liniowych

o równaniach i niewiadomych ma nietrywialne rozwiązanie.

W szczególności prawdziwa jest zależność

Po wymnożeniu i uporządkowaniu składników widzimy, że lewa strona powyższej równości składa się z wyrazów postaci oraz dla Skoro nie wszystkie punkty leżą na jednej prostej, to każdy punkt pojawia się na co najmniej dwóch prostych, a zatem każdy składnik postaci występuje co najmniej dwukrotnie w powyższej sumie. Co więcej, ponieważ przez dwa różne punkty przechodzi dokładnie jedna prosta, liczby i gdzie znajdą się razem w dokładnie jednej sumie. A zatem przy składniku znajduje się współczynnik W tej sytuacji

Stąd jednak wynika, że co stanowi sprzeczność z wyborem liczb Kończy to dowód.