Zadanie

Narzędzia
Obiekty
Słowa kluczowe
Kategoria: Planimetria

O LXIII Olimpiadzie Matematycznej»Zadanie 5

o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu O LXIII Olimpiadzie Matematycznej
Publikacja w Delcie: lipiec 2012
Publikacja elektroniczna: 01-07-2012
Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (69 KB)

W trójkącie ostrokątnym $\text{[math]}$ punkt $\text{[math]}$ jest środkiem okręgu opisanego, a dwusieczna kąta $\text{[math]}$ przecina bok $\text{[math]}$ w punkcie $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ będzie takim punktem, że $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Proste $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ przecinają się w punkcie $\text{[math]}$ Wykazać, że okrąg o środku $\text{[math]}$ i przechodzący przez punkt $\text{[math]}$ jest styczny do prostej $\text{[math]}$

Rozwiązanie

Przedstawione rozwiązanie jest prawie analityczne, oparte na idei, która zapewne powstała po przyjrzeniu się dokładnemu rysunkowi, który był w brudnopisie (zamieszczamy go na dole sąsiedniej szpalty). Niech $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Ponieważ trójkąt $\text{[math]}$ jest ostrokątny, więc $\text{[math]}$ Możemy założyć, że promień okręgu opisanego na trójkącie $\text{[math]}$ jest równy $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Ponieważ $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ oznacza punkt wspólny boku $\text{[math]}$ i dwusiecznej kąta $\text{[math]}$ Jej równanie to $\text{[math]}$ (bo leżą na niej punkty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ – środek łuku $\text{[math]}$ ). Wobec tego $\text{[math]}$ Równanie prostej $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ Niech $\text{[math]}$ Mamy $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Jeśli $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ Stąd

$pict$

Stąd wynika, że prosta $\text{[math]}$ jest równoległa do prostej $\text{[math]}$ więc trójkąty $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ są podobne, zatem $\text{[math]}$ co kończy dowód twierdzenia. Jeśli $\text{[math]}$ to $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ zatem $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ więc $\text{[math]}$ jest środkiem odcinka $\text{[math]}$ Twierdzenie zachodzi również w tym przypadku.