Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (105 KB)
Okrąg wpisany w trójkąt
jest styczny do boków
odpowiednio w punktach
Punkt
jest
środkiem boku
zaś odcinki
i
przecinają
się w punkcie
Wykaż, że proste
i
są
prostopadłe.
Rozwiązanie
Niech
Umieśćmy w
odpowiednio masy
i wyznaczmy środek ciężkości
tego układu.
więc
leży na prostej
Jednocześnie
więc
leży też na prostej
Stąd
Umieśćmy teraz dodatkowo masę
w punkcie
i masę
w punkcie
wtedy
Niech
będzie środkiem ciężkości „starych” i „nowych” mas, wtedy
leży na prostej
łączącej ich środki ciężkości.
Z twierdzenia o dwusiecznej,
jest
jej spodkiem dla
Leży więc na niej punkt
Analogicznie leży on też
na pozostałych dwusiecznych kątów trójkąta, jest zatem środkiem okręgu
wpisanego. Stąd
co kończy dowód.