Maksymalna podgrupa właściwa grupy multiplikatywnej liczb wymiernych dodatnich – tak się w języku algebry nazywa obiekt, którego istnienie należy rozstrzygnąć. Podamy przykład takiej podgrupy. Każda liczba (wymierna dodatnia) daje się przedstawić w postaci

(1)

wykładnik  jest wyznaczony jednoznacznie. Określamy zbiór  zaliczając doń te liczby powyższej postaci, które mają wykładnik  parzysty. Nie wszystkie liczby  się tu znalazły, więc  jest podzbiorem właściwym zbioru  Jest on zamknięty względem działań mnożenia i dzielenia (tworzy podgrupę grupy ) – to jasne. Trzeba jeszcze wykazać, że jeżeli  jest podgrupą grupy  zawierającą  i nie identyczną z   to

Wybierzmy więc i ustalmy dowolny element  Jest to liczba postaci (1):

przy czym wykładnik  jest nieparzysty. Wszystkie iloczyny  gdzie  należą do  Pisząc  w postaci (1), z parzystym  mamy

(2)

Gdy  przebiega zbiór wszystkich liczb parzystych,  przebiega zbiór wszystkich liczb nieparzystych. Ponadto każdy ułamek  o liczniku i mianowniku dodatnim nieparzystym możemy uzyskać jako drugi czynnik przedstawienia (2), biorąc

To znaczy, że w zbiorze  znajdują się wszystkie liczby wymierne dodatnie z nieparzystą potęgą dwójki. Liczby z parzystą potęgą dwójki, czyli elementy zbioru  też się w   znajdują. Zatem, istotnie,

[Nieco ogólniej, można było wziąć dowolne liczby pierwsze (różne lub nie) i określić  jako zbiór wszystkich ułamków  gdzie  są niepodzielne przez  zaś wykładnik  jest podzielny przez ; takie ułamki również tworzą maksymalną podgrupę właściwą (w podanym przykładzie przyjęliśmy ).]