Innym systemem, bardzo przydatnym, gdy nie mamy danego rankingu drużyn, jest tzw. system kołowy, bardziej znany po prostu jako rozgrywki ligowe. W systemie tym mamy drużyn i każda rozgrywa mecz ze wszystkimi pozostałymi – dzięki temu jest to bardzo sprawiedliwy system. Łącznie mamy meczów. Rozgrywki składają się z  kolejek. Jeśli jest parzyste, to w każdej kolejce uczestniczą wszystkie drużyny, a jeśli nieparzyste, to jedna drużyna pauzuje. Drugi przypadek możemy sprowadzić do pierwszego, dorzucając fikcyjną drużynę i interpretując pauzowanie jako wygrany z nią mecz. Każda drużyna musi rozegrać meczów, a więc liczba kolejek musi być równa co najmniej tyle. Jeśli spojrzymy na terminarze spotkań różnych lig, to zobaczymy, że składają się one właśnie z tylu kolejek. Ale dlaczego? Dlaczego zawsze udaje się tak ułożyć terminarz, aby nie zdarzyła się sytuacja, w której wypada, że dane dwie drużyny, które już grały ze sobą, teraz znowu miałyby na siebie trafić? Czy jest to możliwe dla dowolnej parzystej liczby drużyn?

Popatrzmy na przykłady z życia. Czy jesteśmy w stanie znaleźć dla dowolnej (odpowiednio małej) parzystej wartości ligę o takiej liczbie drużyn? Poszukajmy wśród lig piłki nożnej:

2–

to dość trywialny przypadek – mecz pomiędzy dwiema drużynami, trudno to nawet nazwać ligą,

4–

przykładowo rozgrywki grupowe w finałach Mistrzostw Świata albo Europy, rozgrywki grupowe Ligi Mistrzów; bardzo często łączone z systemem pucharowym (najpierw faza grupowa, potem pucharowa),

6–

np. finałowa runda eliminacji do Mistrzostw Świata w strefie obejmującej Amerykę Północną i Środkową ( CONCACAF), do niedawna taką wielkość miały grupy w rozgrywkach Ligi Europejskiej pod warunkiem, że pauzowanie interpretujemy jako mecz z fikcyjną drużyną (grupy w rzeczywistości liczyły po 5 drużyn),

8–

trudno znaleźć ligę o tej liczbie drużyn, ale liga polska w sezonie 2001/02 była podzielona na dwie grupy po 8 drużyn, z których następnie po cztery najlepsze drużyny wchodziły do grupy mistrzowskiej, a pozostałe do grupy spadkowej,

10–

np. liga austriacka, słoweńska, szwajcarska czy grupa eliminacyjna do Mistrzostw Świata w Ameryce Południowej ( CONMEBOL),

12–

np. liga duńska, szkocka, słowacka,

14–

tyle drużyn liczyła liga polska w sezonach 2003/04 i 2004/05,

16–

typowa wielkość dla większości lig europejskich, np. liga belgijska, bułgarska, czeska, fińska, grecka, norweska, polska, portugalska, rosyjska,

18–

np. niemiecka Bundesliga, liga holenderska, rumuńska, turecka,

20–

typowa obecnie wielkość dla najlepszych lig europejskich, takich jak angielska Premier League, francuska Ligue 1, hiszpańska Primera División, włoska Serie A; również liga argentyńska czy brazylijska,

24–

np. angielska „druga liga” – Championship.

Dla wszystkich wymienionych lig, aby każda drużyna zagrała z każdą, wystarcza   kolejek. Skłania nas to do przypuszczenia, że dla dowolnej liczby parzystej  w lidze liczącej  drużyn zawsze da się tak ułożyć terminarz spotkań, żeby do rozegrania wszystkich meczów wystarczyło  kolejek.

Rys. 1

Spróbujmy to przetłumaczyć na nieco inny język: przedstawimy rozgrywki jako graf. Wierzchołkami będą drużyny danej ligi (zakładamy, że liczba wierzchołków jest parzysta), a krawędź łącząca dwa wierzchołki będzie oznaczała mecz między odpowiednimi drużynami. Każde dwie drużyny mają ze sobą grać, więc rysujemy wszystkie możliwe krawędzie – taki graf to graf pełny albo klika o  wierzchołkach. Będziemy kolorować krawędzie naszego grafu  kolorami. Kolory oznaczają kolejki, w których odbywają się mecze. Chcemy tak pokolorować krawędzie, aby z każdego wierzchołka wychodziła krawędź każdego koloru i każdym kolorem było pokolorowane  krawędzi. Jeśli to się uda, to fachowo mówimy, że

Jak wykazać, że dla dowolnej liczby parzystej można tak pokolorować krawędzie grafu pełnego? Okazuje się, że można to zrobić w bardzo sprytny i przejrzysty sposób. Co więcej, będzie to sposób konstruktywny! Umieśćmy mianowicie drużyn w wierzchołkach -kąta foremnego, a ostatnią w jego środku, tak jak na rysunku 1 (zamiast różnych kolorów są różne rodzaje linii). Teraz sprawa jest dosyć prosta: wybieramy dowolny kolor, malujemy nim dowolną jeszcze niepomalowaną krawędź łączącą drużynę w środku z którąś z drużyn w wierzchołkach -kąta i następnie tym kolorem malujemy wszystkie przekątne -kąta prostopadłe do danej krawędzi. Na rysunku 2 widać dwa początkowe etapy kolorowania. Ponieważ liczba  jest nieparzysta, to każda z wybranych krawędzi łączących środek z wierzchołkiem -kąta jest zawarta w jego osi symetrii, a każda z  przekątnych łączących wierzchołek z jego obrazem symetrycznym jest prostopadła do tej krawędzi (i nie jest prostopadła do żadnej innej krawędzi łączącej środek z wierzchołkiem -kąta). W każdym kroku kolorujemy więc krawędzi naszego grafu.

Rys. 2

Gdy byłem małym chłopcem, czyli we wczesnej podstawówce, bardzo interesowałem się piłką nożną i lubiłem tworzyć własne rozgrywki ligowe. Najpierw, oczywiście, trzeba było ułożyć terminarz spotkań. Liga polska liczyła wówczas 18 drużyn, a ja, rzecz jasna, nie znałem opisanego przed chwilą sposobu. A proste przepisanie terminarza ligi polskiej (i podmiana nazw drużyn) nie wchodziło w grę, bo w tamtych czasach zwyczajnie nie bardzo można było ten terminarz znaleźć (chyba że kolekcjonując gazety z całego sezonu – dziś wystarczyłoby kupić Skarb kibica, włączyć telegazetę lub wejść do Internetu). Nie byłem więc w stanie ułożyć terminarza dla ligi 18-drużynowej, ale za to wymyśliłem sprytny sposób na ułożenie terminarza dla ligi liczącej 16 drużyn (i tyle liczyły „moje” ligi).

Ułożyć terminarz dla ligi liczącej 4 drużyny jest łatwo – podzielmy więc naszą ligę na cztery grupy po cztery drużyny. Nazwijmy je A, B, C, D. Przez pierwsze trzy kolejki drużyny z poszczególnych grup grają między sobą. Co dalej? Teraz naszą ligę możemy potraktować po prostu jako ligę złożoną z czterech „drużyn” A, B, C, D. Mecz pomiędzy „drużynami” A i B trwa przez cztery kolejki i polega na tym, że każda drużyna z A gra z każdą z B (znowu jest to bardzo łatwe do zrealizowania). Zatem w kolejkach 4–7 mamy mecze A–B, C–D, w kolejkach 8–11 mecze A–C, B–D, a w  12–15 mecze A–D, B–C. I terminarz gotowy.

Na koniec powstaje pytanie: jeśli mamy ułożony terminarz, albo inaczej, kolorowanie grafu, to czy można tak rozmieścić jego wierzchołki, aby to kolorowanie było identyczne z opisaną wyżej konstrukcją? Innymi słowy, czy ten sposób układania jest jedyny z dokładnością do kolejności kolejek i układu drużyn? Może Czytelnik potrafi odpowiedzieć na to pytanie?