Zaczniemy od przypomnienia kilku podstawowych własności wielomianów nad liczbami rzeczywistymi. Skupmy się najpierw na funkcji kwadratowej . Będzie nas interesowało to, ile informacji potrzebujemy, żeby ustalić parametry ,   i  . Na przykład, jeśli znamy dwa punkty , , przez które przechodzi szukana „szkolna” parabola, to wiemy jeszcze zbyt mało. Co to znaczy? Weźmy dla przykładu oraz . Łatwo sprawdzić, że zarówno funkcja , jak i spełniają nasze oczekiwania, tzn. oba punkty leżą na wykresach obu funkcji. Okazuje się, że zawężenie kryteriów do trzech punktów sprawia, iż znajdziemy co najwyżej jedno rozwiązanie. Faktu tego nie będziemy ściśle dowodzić, intuicja powinna jednak podpowiadać, że właśnie trzy punkty są konieczne i wystarczające. Dlaczego? Jeden punkt przekłada się na jedno równanie liniowe z trzema niewiadomymi Trzy takie punkty dają trzy równania.

Podana wyżej własność funkcji kwadratowej uogólnia się na wielomiany wyższych stopni. Sformułujemy odpowiednie twierdzenie.

Możemy to uogólnić. Otóż twierdzenie jest wciąż prawdziwe, jeśli zmienimy zbiór, nad którym rozpatrywane są wielomiany. Przykładowo, w świecie liczb zespolonych to również jest prawdą. Dla osób zaznajomionych z podstawami algebry będzie jasne, jeśli powiemy, że jest ono prawdziwe nad każdym ciałem. Dla naszych rozważań nie będzie potrzebna dokładna definicja tej struktury. Zajmiemy się jednym konkretnym przykładem. Otóż niech będzie liczbą pierwszą oraz niech będzie zbiorem liczb naturalnych od do . Skojarzymy z tym zbiorem działania dodawania i mnożenia. Przyjmiemy, że aby dodać dwie liczby z tego zbioru, dodajemy je w sposób tradycyjny, po czym jako wynik bierzemy resztę z dzielenia przez  . Dla mnożenia robimy analogicznie. Poniższy przykład ilustruje te definicje dla  :

Nad taką dziwaczną strukturą będziemy badać tradycyjne wielomiany. Ponownie przyjmijmy oraz , , . Mamy wówczas przykładowo:

Jak uprzedziliśmy, w tym świecie również zachodzi twierdzenie o wielomianach.

A gdzie w tym wszystkim podział sekretu? Jeszcze chwila cierpliwości i wszystko się wyjaśni. Mamy już potrzebny aparat matematyczny, czas więc na ogólne wprowadzenie w problematykę sekretów, spisków i wzajemnej nieufności.

Rozważmy uproszczoną sytuację: pewna grupa  osób ma jakiś wspólny sekret  , który interpretujemy jako jedną liczbę z zakresu , czy raczej – mówiąc językiem algebry – jako element ciała  . Chcemy jakoś rozdzielić informację o  wśród grupy, aby uzyskać następujący poziom bezpieczeństwa sekretu 

Wróćmy do świata wielomianów. Niech będzie losowym wielomianem nad  stopnia  , takim że . Tylko ten wielomian będzie nam potrzebny, aby rozdzielić sekret. Pierwszej osobie zdradzimy wartość  , drugiej –  itd. Ostatnia osoba pozna  . Teraz z twierdzenia 2 wynika, że informacje posiadane przez te osoby pozwalają odtworzyć wielomian, a więc i obliczyć  , to znaczy poznać sekret  . Gdy zabraknie choć jednej osoby, to wielomian nie jest wyznaczony jednoznacznie i wiadomość pozostaje tajna.

Co tu jest jeszcze do dowiedzenia?

Powyższe rozumowanie zawiera, oczywiście, pewne uproszczenia. W szczególności nie wskazaliśmy, jak wykazać, że żadne osób nie może odtworzyć  Nie będziemy wszystkiego uzupełniać. Chcemy jednak dokładnie określić, czego należałoby ściśle dowieść, aby móc stwierdzić, że opisany schemat jest bezpieczny.

Przede wszystkim nie zdefiniowaliśmy precyzyjnie, co rozumiemy przez sformułowanie, że wiadomość jest tajna. Nie wystarczy powiedzieć, że posiadana wiedza nie wystarcza do jednoznacznego odtworzenia sekretu  . Mogłoby się przecież tak zdarzyć, że – w skrajnym przypadku – niejednoznaczność polega na tym, iż mamy dwóch kandydatów na  . Pierwsze przybliżenie definicji mogłoby więc iść w tę właśnie stronę. To znaczy chcielibyśmy, aby posiadana wiedza nie mogła wykluczyć żadnego kandydata na  . Jednak również i taka definicja jest za słaba. Nie wyklucza bowiem przypadku, gdy posiadana wiedza pozwala stwierdzić, że, na przykład, z prawdopodobieństwem  (a nie  , jak pewnie byśmy oczekiwali). Najsilniejsza definicja jest sformułowana właśnie w języku probabilistyki: dana wiadomość jest tajna, jeśli posiadana wiedza nie pozwala na ustalenie innego rozkładu prawdopodobieństw tajnego sekretu niż rozkład jednostajny.

Okazuje się, że dzielenie sekretu za pomocą wielomianu spełnia tę najsilniejszą definicję. Zachęcamy do udowodnienia tego faktu, a przynajmniej dokładnego sformułowania, co tak naprawdę trzeba udowodnić.

Dalsze zastosowania

Wielomiany dają nam jeszcze inne ciekawe możliwości (ponownie  oznacza liczbę osób).

Powyższe bezpieczeństwo uzyskujemy, na przykład, następująco: losujemy wielomian stopnia  o wartości  w zerze. Osobom dajemy kolejne wartości Ponownie twierdzenie 2 dowodzi tezy. Liczba została tu wybrana przykładowo, można wybrać dowolną inną. Oczywiście, żeby zachować pełną ścisłość, należy udowodnić trudniejszy fakt dotyczący rozkładu prawdopodobieństw.

To jednak nie koniec. Jako ostatnią rzecz proponujemy ćwiczenie. Zachęcamy Czytelnika do pokazania, jak użyć techniki wielomianów, aby osiągnąć następujący poziom bezpieczeństwa (dla Czytelnika Leniwego rozwiązanie jest w dymku).

Opisany w artykule pomysł dzielenia sekretu zawdzięczamy izraelskiemu kryptografowi Adiemu Shamirowi. Zainteresowanych zachęcamy do samodzielnych poszukiwań i dalszego zgłębiania tej tematyki.