Temat: Materiały

Narzędzia

Obiekty

Słowa kluczowe

Kategoria

Materiały

Zadanie ZF-990
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: grudzień 2019

Publikacja elektroniczna: 30 listopada 2019
$obrazek$

Rys. 1.

Rys. 1.

$obrazek$

Rys. 2.

Rys. 2.

W temperaturze $|910 ○$ C żelazo podlega przemianie fazowej, w której zmienia się sposób uporządkowania jego atomów. W niskich temperaturach atomy kryształu żelaza obsadzają węzły sieci regularnej, centrowanej przestrzennie (rysunek 1 przedstawia komórkę elementarną takiej sieci, zwanej siecią bcc). Powyżej $910○$ C atomy obsadzają węzły sieci regularnej centrowanej powierzchniowo (rysunek 2 przedstawia jej komórkę elementarną - sieć fcc). Badając dyfrakcję promieni $X$ na krysztale, można nie tylko ustalić rodzaj struktury, ale także rozmiar komórki elementarnej. Dla sieci bcc długość boku komórki wynosi $aB = 2,9044 ⋅10−10,$ a dla fcc $aF = 3,6467 ⋅10−10$ (obie długości mierzone w temperaturze $910○$ C). Jak podczas przemiany zmienia się odległość między najbliższymi atomami sieci? Jak zmienia się gęstość żelaza?

Rozwiązanie

W sieci fcc atomy obsadzają wierzchołki sześcianu i środki jego ścian bocznych. Najbliższe atomy znajdują się więc w odległości
$√-- dF = aF -2--= 2,5786 ⋅10−10 m. 2$
W sieci bcc atomy obsadzają wierzchołki sześcianu i jego środek. Najbliższe atomy są więc odległe o
$√ -- dB = aB --3-= 2,5152 ⋅10−10 m. 2$
Różnica odległości między atomami jest bardzo mała i odpowiada stosunkowi gęstości fazy fcc do fazy bcc, równemu 0,928. Warto zauważyć, że w sieci bcc przypadają 2 atomy na jedną komórkę elementarną (atom w środku należy do komórki, a każdy z atomów "narożnych" należy do ośmiu sąsiadujących komórek), a w sieci fcc 4 atomy (każdy "narożny" należy do ośmiu komórek, a te w środkach ścian do dwóch sąsiadujących komórek).
Narzędzia

Obiekty

Słowa kluczowe

Kategoria

Materiały

Zadanie ZF-901
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: kwiecień 2016

Publikacja elektroniczna: 30 marca 2016
Dane są dwie sprężyny, wykonane z takiego samego materiału, każda składająca się z jednakowych, następujących po sobie zwojów. Średnice sprężyn wynoszą odpowiednio 3 i 9 mm, ich długości 1 i 7 cm, a średnica drutu, z którego są wykonane, to 0,2 i 0,6 mm. Współczynnik sprężystości pierwszej sprężyny wynosi $|k = 14 N/m.$ Ile wynosi współczynnik sprężystości drugiej sprężyny?

Rozwiązanie

Opierając się na analizie wymiarowej, możemy napisać, że dla sprężyn o jednakowym kształcie $|k [N/m] = Ca$ gdzie $|C$ - stała bezwymiarowa, $a$ - któryś z geometrycznych rozmiarów sprężyny, $|E$ - moduł Younga. Wyobraźmy sobie trzecią sprężynę o średnicy $|9 mm$ i długości $|3 cm$ wykonaną z drutu o średnicy $0,6 mm$ . Miałaby ona współczynnik sprężystości trzy razy większy od sprężyny pierwszej, to znaczy $3 ⋅14 N/m = 42 N/m.$ Równocześnie współczynniki sprężystości trzeciej i drugiej sprężyny pozostają w stosunku 3/7. Stąd otrzymujemy, że współczynnik sprężystości drugiej sprężyny wynosi $18 N/m.$

(Rozważając zależność współczynnika sprężystości od długości sprężyny, zauważmy, że, na przykład, szeregowe połączenie $|n$ jednakowych sprężyn, każda o współczynniku sprężystości $k,$ daje sprężynę o współczynniku sprężystości $|k/n.$ )
Narzędzia

Obiekty

Słowa kluczowe

Kategoria

Materiały

Klub 44F - zadania IX 2011»Zadanie 522
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44F - zadania IX 2011

Publikacja w Delcie: wrzesień 2011

Publikacja elektroniczna: 31 sierpnia 2011

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (81 KB)
Linka o długości $\text{[math]}$ m i masie $\text{[math]}$ kg (jednorodnie rozłożonej) jest zamocowana końcami w dwóch punktach odległych o $\text{[math]}$ m (Rys. 1). Linka obraca się wokół osi przechodzącej przez punkty zamocowania z prędkością kątową $\text{[math]}$ rad/s i względem tego obracającego się układu odniesienia pozostaje nieruchoma. Pomijając efekty siły ciężkości, obliczyć numerycznie odległość $\text{[math]}$ środkowego punktu linki od osi obrotu.

Rozwiązanie

Niech $\text{[math]}$ będzie współrzędną wzdłuż osi obrotu, natomiast $\text{[math]}$ – współrzędną wzdłuż osi prostopadłej. Składowa $\text{[math]}$ siły napięcia linki jest stała, natomiast przyrost składowej $\text{[math]}$ równoważy siłę odśrodkową działającą na fragment linki o długości $\text{[math]}$ i masie $\text{[math]}$ :
$display-math$
Znak minus w powyższym równaniu odpowiada $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Kierunek siły napięcia jest styczny do linki, czyli $\text{[math]}$ a stąd
$display-math$
Numeryczne całkowanie tego równania rozpoczynamy od $\text{[math]}$ i dowolnie wybranych wartości $\text{[math]}$ oraz $\text{[math]}$ Wartości te należy dobrać tak, aby w punkcie $\text{[math]}$ osiągnąć $\text{[math]}$ oraz długość linki równą $\text{[math]}$ Okazuje się, że przy danych $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ właściwymi wyborami są $\text{[math]}$ (faktycznie wyznaczamy w ten sposób $\text{[math]}$ ; wartości $\text{[math]}$ i $\text{[math]}$ nie wpływają na kształt linki) oraz $\text{[math]}$ Maksymalną wartością $\text{[math]}$ jest $\text{[math]}$ m. Dla porównania, dla krzywej łańcuchowej (cosinusa hiperbolicznego) byłoby $\text{[math]}$