Temat: Grawitacja i Wszechświat

Narzędzia

Obiekty

Słowa kluczowe

Kategoria

Teoria względności

Klub 44F - zadania XII 2020»Zadanie 709
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44F - zadania XII 2020

Publikacja w Delcie: grudzień 2020

Publikacja elektroniczna: 1 grudnia 2020

Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (364 KB)
Statek kosmiczny oddala się radialnie od Ziemi z prędkością $|v = 3c/5$ ( $c$ - prędkość światła w próżni). Ze statku nadawana jest audycja radiowa. Czas nadawania audycji w studio na statku $|τ= 30$ min. Jak długo trwa odbiór audycji na Ziemi?
Narzędzia

Obiekty

Słowa kluczowe

Kategoria

Grawitacja i Wszechświat

Zadanie ZF-975
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: maj 2019

Publikacja elektroniczna: 30 kwietnia 2019
Badania sejsmologiczne pewnej planety o promieniu $|R = 6370 km$ pozwoliły ustalić, że rozkład masy w jej wnętrzu ma symetrię sferyczną, przy czym gęstość warstw powierzchniowych, aż do głębokości $H km$ , wynosi $|ρm= 4,44 g/cm3.$ Głębsze warstwy mają gęstość $|ρc = 11,00 g/cm3.$ W jakiej odległości od środka tej planety wartość jej siły przyciągania grawitacyjnego jest największa? Wartość stałej grawitacji $−1122 =6,67⋅10Nm/kg. |G$

Wskazówka

Wewnątrz jednorodnej powłoki wypadkowa siła grawitacji jest równa zeru, a na zewnątrz powłoka przyciąga tak, jakby cała jej masa była skupiona w jej geometrycznym środku.

Rozwiązanie

W odległości $r$ od środka planety siła grawitacji $F(r)$ działająca na masę $|m$ będzie równa przyciąganiu grawitacyjnemu przez punktową masę umieszczoną w środku planety i równą całej masie znajdującej się w kuli o promieniu $r. |$ Dla $|r < r = R− H c$ mamy więc:
$mρcr3 4π G 4π mρcr, F(r) = ------2--- = ---G 3r 3$
dla $R > r > rc$ :
$m 4π-G--- 3 3 3 F(r) = 3r2 (ρcrc +ρ m(r − rc))$
oraz dla $r > R$ :
$m F(r) = 4πG---(ρcr3c + ρm(R3 − r3c)). 3r2$
$obrazek$

Podstawienie danych liczbowych prowadzi do wartości: $F(rc)/m$ $|F(R)/m$ Pomiędzy $r c$ i $|R,F(r)/m$ osiąga minimum w $r0 = 4979 km$ , $|F(r0)/m$ Największa wartość siły grawitacji osiągana jest więc na głębokości $H.$ Opisany w treści zadania rozkład masy, w grubym przybliżeniu, odpowiada rozkładowi masy we wnętrzu Ziemi. Wykres funkcji $F(r)$ przedstawia rysunek.
Narzędzia

Obiekty

Słowa kluczowe

Kategoria

Grawitacja i Wszechświat

Zadanie ZF-694
o zadaniu...

Publikacja w Delcie: listopad 2018

Publikacja elektroniczna: 31 października 2018
Oszacuj, jaka jest najmniejsza odległość $|r$ od Ziemi, w jakiej Księżyc mógłby obiegać Ziemię po orbicie kołowej bez utraty skał ze swojej powierzchni (tzn. pyłu i kamieni pokrywających jego powierzchnię i związanych z resztą Księżyca tylko siłami grawitacji)? Przyjmij, że Księżyc, tak jak to jest obecnie, jest zwrócony do Ziemi zawsze tą samą stroną, tzn. prędkości kątowe obiegu i obrotu własnego Księżyca są równe. Masa Księżyca $K M$ jest w przybliżeniu 81 razy mniejsza od masy Ziemi $Z.M |$ Promień Księżyca $|RK1≈740 km.$

Rozwiązanie

Siła przyciągania Ziemia-Księżyc jest źródłem siły dośrodkowej w ruchu orbitalnym Księżyca, co prowadzi do warunku:
$MZ G---- r2 = ω$
gdzie $r$ oznacza odległość środków Ziemi i Księżyca.

W układzie nieinercjalnym rotującym z prędkością $| ω$ wokół środka Ziemi (duża masa Ziemi pozwala nam utożsamić jej środek ze środkiem masy układu Ziemia-Księżyc) na cząstkę pyłu o masie $|m$ leżącą na Księżycu najdalej od Ziemi działa więc wypadkowa siła "do Księżyca":
$MKmMKm -G------- G------ Fz = (r + R )2 + R2 − m K K$
a na podobną cząstkę najbliżej Ziemi siła:
$MKmKm G------ Fw= R2 + m K$
Dla $r≫ RK$ mamy
$1 1 RK (r-±R--)2≈ r2 (1 2-r-) . K$
W tym przybliżeniu
$MKmMZmRK G------ 3G--------- Fz ≈ Fw ≈ R2 − r3 > 0. K$
Ostatnia równość oznacza, że cząstka jest dociskana do Księżyca. Ostatecznie otrzymujemy warunek:
$√ ----- Z r > RK 3 3M--. K M$
Po podstawieniu danych liczbowych $√3-- |r > 3 9RK ≈ 6,24Rk ≈ 10860 km.$

Obliczona odległość $| r,$ to około $| 6,2$ promienia Księżyca $| RK,$ a więc warunek $r ≫ RK$ jest słabo spełniony, stąd w treści zadania, dla bezpieczeństwa pada określenie "oszacuj".

Okres obiegu Księżyca w obliczonej odległości od Ziemi wynosiłby około 3 godziny 7 minut zamiast 27 i 1/3 dnia.

Warto jednak pamiętać, że aktualnie Księżyc oddala się od Ziemi w tempie niecałych $|4 cm/rok.$