Zaglądamy do środka gwiazdy

Znanym paradoksem jest, że o ile struktura Ziemi jest skomplikowana i do dziś słabo poznana, to wiemy, że gwiazdy są w pierwszym przybliżeniu "kulami gazowymi" - i tak właśnie zatytułował swoją książkę pierwszy badacz ich wnętrz, Robert Emden...

Na Marginesie

Ciśnienie i gęstość osiągają maksimum $|Pc,ρc$ w centrum gwiazdy i tam zmieniają się wolno, zatem kładąc $m$ i $ρ2crdr dP 4~3 πG$ dla małych $|r,$ unikamy dzielenia przez 0. Wybierając $K, Pc$ i krok promienia $|δr,$ obliczenia można prowadzić tak: dla $r 0$ kładziemy $|m$ i obliczamy $ρc,δ P$ i $|δm$ z (1) i (2) , skąd $m |$ oraz $|P r δr P r δP$ i tak dalej. W tej metodzie, zwanej metodą Eulera, zakładamy jednak, że zmiany parametrów w czasie kroku nie wpływają na $δP$ i $|δm,$ co wymaga bardzo małego kroku. To jakby w ruchu jednostajnie przyśpieszonym, gdzie $|ds v0 gt dt$ przyjąć jako średnią prędkość $v t v0.$

Ulepszeniem jest wersja metody Rungego-Kutty, w której oblicza się $|P$ i $m$ w połowie kroku (jak u Eulera, tylko dla $r δr~2$ ), a dopiero otrzymane wartości używa się do obliczenia $δP$ i $|δm$ dla całego kroku $r. δ$ Czytelnik może się przekonać, że podobne postępowanie dla ruchu jednostajnie przyspieszonego daje poprawny wynik dla paraboli $| 2 s vot gt ~2,$ stąd drugi rząd tej metody, RK(2). Z przybliżenia stałego $| ρc$ w pierwszym kroku otrzymujemy $2 ρcδr~2δr |δP 4~3 πG$ i dalej: $m$ i $22 |P δr ρcδr. Pc 2~3 πG$

Przyjął on, że zmiany ciśnienia $|P$ i gęstości $ρ$ w funkcji odległości od środka $|r$ odbywają się przy zachowaniu relacji politropowej (politropowego równania stanu):

n+1~nPn~n+1- ρczyliρ(P)=(K), P(ρ ) = K

(1)

gdzie $K$ i $|n$ są stałymi, wynikającymi z własności materii danej gwiazdy; na przykład relatywistyczny gaz zdegenerowanych (ciasno upakowanych) elektronów jest dobrze opisany przez politropę z $|n = 3.$ Póki co pominiemy dokładność tego przybliżenia w ogólnym przypadku i skupimy się na pokazaniu, jak w oparciu o nie można samemu skonstruować model gwiazdy, używając krótkiego programu komputerowego. Zacznijmy od znalezienia stosownych równań opisujących gwiazdę. Jeśli przez $m$ oznaczymy masę części gwiazdy zawartej w kuli o promieniu $r,$ to powiększając ją o warstwę kulistą o grubości $dr,$ otrzymamy przyrost masy równy $|dm = 4π r2ρdr.$ Przyspieszenie grawitacyjne na takiej powierzchni to $2 m/r,g = G$ gdzie $|G$ to stała grawitacji, ponieważ wpływ mas zewnętrznych znika zgodnie z twierdzeniem Newtona. Zatem korzystając ze szkolnego wzoru $|hgρ$ na ciśnienie atmosfery o gęstości $ρ$ i grubości $h,$ dostajemy w warstwie $|dr$ spadek ciśnienia hydrostatycznego

mρ dP = − G----dr oraz dm = 4π r2ρ dr. r2

(2)

Przed obliczeniami (patrz margines) pokażemy jeszcze, że wygodnie je wykonywać, wybierając pewne umowne jednostki oraz zmienne bezwymiarowe $|θ,µ$ i $ξ$ :

1+1~nn+1 ρcθ,r=rnξ,m=mnµ,skąd ρ= ρcθ, P = K

(3)

mn n+1 --ρcG------(n-+1)µθ-n ρ-c4-πr3n n 2 dθ =− (n +1)P r ξ2 d ξ oraz d µ= m θ ξ dξ , c n n

(4)

gdzie $rn$ i $|mn$ możemy zdefiniować, wymagając, by wyróżnione fragmenty wynosiły 1, i otrzymując

(n+1) m = ρ 4π r3 oraz r2= K------- ρ 1~n−1 . n c n n 4 πG c

(5)

W nowych zmiennych warunki początkowe w centrum sprowadzają się do $|µ= 0,θ = 1$ dla $ξ = 0,$ a ich przybliżenia dla małych $|ξ$ wynoszą

µ= -1ξ3,θn+1 = 1− n-+-1ξ2. 3 6

(6)

Stąd i z (4) wynika, że teraz rozwiązania na $µ$ i $|θ$ zależą tylko od $n.$ Rozwiązanie rozciąga się aż do powierzchni, gdzie dla $ξ = ξ1$ mamy $θn+1 = 0$ oraz $|µ= µ . 1$

Do wykonania obliczeń można się posłużyć krótkim programem napisanym w języku python do ściągnięcia ze stron autora. Obliczenia wykonujemy, korzystając z równań (4), startując z wartości otrzymanych z (6). Program rysuje wykresy przebiegu ciśnienia i gęstości w gwieździe, przykład wykresu na następnej stronie. Zestawienie dokładnych wyników na powierzchni dla różnych $n$ mieści tabela pod wykresem.

Dotąd nie korzystaliśmy z praw różniczkowania poza oczywistym $|d(cx) = cdx,$ z warunkiem $c = const.$ Analityczne rozwiązania równań Emdena istnieją dla trzech wartości $|n = 0,1,5$ : $|θ 0 = 1 −ξ 2/6,θ 1 = sin ξ/ξ$ oraz $|θ 5 = (1 +ξ2/3)−1~2.$ To ostatnie rozwiązanie jest graniczne: $ξ1 = ∞ .$ Dla $|n > 5$ fizyczne rozwiązania nie istnieją, bo wykres $|θ$ nie przecina osi $ξ.$ By sprawdzić te rozwiązania i wyrazić $µ$ przez $|θ,$ trzeba jednak skorzystać z prawa różniczkowania $|dxa = axa−1dx,$ wynikającego z dwumianu Newtona $|(x + δx)a − xa≈ xa + axa−1δx + ⋯ − xa.$ Użyjemy go tylko w tym akapicie i jego znajomość nie jest potrzebna w dalszej części. Wówczas lewa strona (4) przybiera postać $n (n + 1)θ dθ,$ co po uproszczeniu po obu stronach daje rozwiązanie:

µ = −ξ 2 dθ-. dξ

(7)

Wynik dla $n 5$ pochodzi z rozwiązania analitycznego

Mając z obliczeń $|ξ1$ i $µ 1$ na powierzchni, rzeczywisty promień $R$ i masę gwiazdy $|M$ obliczamy z (3), otrzymując $R = r ξ ∼ ρ 1− n ~ 2n n 1 c$ i $|M= m µ ∼ ρ 1−n~3 . n 1 c$ Eliminując $|ρc,$ otrzymujemy:

n (n+1) Mn−1R3−n =-1-[ K-------] µ n−1 1ξ31−n= const. 4 π G

(8)

W podobny sposób średnia gęstość $⟨ρ⟩$ to $4 3 3 M/( 3πR ) = 3ρcµ1/ξ1,$ skąd przy pomocy (4)

mnM ρc ξ3 Pc G G ξ1 --- = --1 oraz --= ---------= -------- --. ⟨ρ⟩ 3µ1 ρc (n + 1)rn (n + 1)R µ1

(9)

Zależność 8 jest bardzo ważna i może być weryfikowana w oparciu o obserwacje astronomiczne. Odwracając problem, dla znanych $M$ i $|R$ oraz $|n$ można obliczyć $ρ c$ i $. K$

Z równania (8) wynika, że dla $n = 3$ gwiazda o danej masie zachowując równowagę mechaniczną (hydrostatyczną), może przyjmować różne promienie. Oznacza to, że jej równowaga jest obojętna. Można pokazać, że w równowadze trwałej są kule gazowe dla $|n < 3.$ Przykładem jest Ziemia o wnętrzu złożonym z ciekłych metali, gdzie gęstość praktycznie nie zmienia się z ciśnieniem, co oznacza $n = 0$ w równaniu (1). Natomiast dla $|n > 3$ gwiazda nie jest trwała: ulega albo rozproszeniu, albo kurczy się do momentu, w którym zmiana własności sprasowanego gazu spowoduje $|n < 3.$

Używając równania (9), można także obliczyć temperaturę w centrum gwiazdy. Skorzystamy z równania stanu gazu doskonałego, zapisanego jako $|P = kT ρ/µ g,$ gdzie $|µg$ to masa cząsteczki gazu, a $k$ to stała Boltzmanna. Jeśli $|m$ i $V |$ to masa i objętość gazu, to gęstość jest $m/V ,$ a stała liczba Avogadro $|N$ jest ilością cząsteczek w molu, to $µg |N$ jest masą mola; zatem liczba moli to $µ)q = m/(N g$ i stała gazowa jest równa $, |ℛ = kN$ to podstawiając, otrzymujemy $|PV = qℛT ,$ czyli zwykłą postać równania gazu. Wstawiając do (9), dostajemy

M Pc kTc G ξ 1 ρ- = µ---= (n-+1)R-µ- . c g 1

(10)

Dla Słońca w przybliżeniu można użyć $n = 3,$ choć naprawdę $n$ jest nieco mniejsze i zmienia się z promieniem. Wyjaśnienie, dlaczego tak się dzieje, to temat na inną opowieść: o porównaniu gwiazd zwykłych (takich jak Słońce) i "kwantowych", czyli białych karłów.