Przeskocz do treści

Delta mi!

Narzędzia

Indukcja

Obiekty

Liczby rzeczywiste

Słowa kluczowe

Kategoria

Analiza

Indukcja wsteczna»Zadanie 1
o zadaniu...

Zadanie pochodzi z artykułu Indukcja wsteczna

Publikacja w Delcie: luty 2011

Publikacja elektroniczna: 16-02-2011
Udowodnij, że dla każdego $\text{[math]}$ prawdziwe są poniższe nierówności pomiędzy średnią arytmetyczną i geometryczną $\text{[math]}$ dodatnich liczb rzeczywistych.
$display-math$

Rozwiązanie

Przedstawiony poniżej dowód tych nierówności jest bardzo ładnym zastosowaniem indukcji wstecznej.
Zauważamy, że $\text{[math]}$ jest standardową szkolną nierównością. Ponadto jeżeli zachodzi $\text{[math]}$ dla pewnego naturalnego $\text{[math]}$ , to dla $\text{[math]}$ liczb dodatnich mamy

$pict$

Wnioskujemy stąd, że $\text{[math]}$ zachodzi dla dowolnej liczby naturalnej $\text{[math]}$ . Pozostała do wykazania prawdziwość implikacji $\text{[math]}$ .
$display-math$
Ostatnia nierówność redukuje się do postaci
$display-math$
Podnosząc uzyskaną nierówność stronami do potęgi $\text{[math]}$ , kończymy dowód.