Delta mi!

Sfery, o których jest mowa na sąsiedniej stronie, nazywane są sferami Dandelina na cześć francuskiego matematyka Germinala Pierra Dandelina (1794–1847), który badając stożkowe, rozwinął pomysły Apoloniusza z Pergi (III w. p.n.e.).

W tym kąciku przyjrzymy się metodom rozwiązywania zadań o przecinaniu się płaszczyzn. Jedną z nich jest wskazanie punktu przecięcia i udowodnienie, że należy do każdej z rozważanych płaszczyzn.

W tym kąciku chcielibyśmy powrócić do pewnych własności sfery wpisanej w czworościan, o których pisaliśmy w kąciku 2 o najmocniejszym twierdzeniu stereometrii (Delta 3/2010). Okazuje się, że można je wykorzystać do udowodnienia faktów pozornie niezwiązanych ze sferą wpisaną.

Tym razem opowiemy o punkcie Fermata–Torricellego w czworościanie...

Dla trójkąta definiujemy okrąg opisany i okrąg wpisany. Podobnie z czworościanem można związać dwie naturalne sfery: sferę przechodzącą przez wierzchołki (opisaną) oraz sferę styczną do ścian (wpisaną). Można jednak rozważać jeszcze trzecią ciekawą sferę – styczną do krawędzi.

Kiedy na płaszczyźnie mamy do czynienia z okręgami, to bardzo często posługujemy się rachunkiem na kątach, ponieważ znamy wiele przydatnych twierdzeń i faktów z tego zakresu. Niestety, trudno o analogiczne narzędzia w przestrzeni. Stanowi to wielki kłopot, gdy zmagamy się z zadaniami o sferach. Istnieje jednak kilka innych technik, skutecznych w zadaniach o okręgach, które działają również w przestrzeni. Są to: potęga punktu, jednokładność oraz inwersja. O tej ostatniej metodzie opowiemy w tym kąciku.

Kontynuujemy opowieść o czworościanach równościennych – tym razem przyjrzymy się paru zadaniom z nimi związanym. Jakiś czas temu na konkursach matematycznych temat tych wdzięcznych czworościanów był dosyć modny...

Na płaszczyźnie, jeśli trójkąt ma równe boki, to jest równoboczny. W przestrzeni jednak czworościan, którego ściany są przystające, wcale nie musi być foremny...

Każdy, kto był w dżungli lub chociaż widział ją w jakimś filmie, wie, że poruszanie się po niej jest, delikatnie mówiąc, dosyć uciążliwe. Stanowi to ogromny kłopot szczególnie wtedy, gdy ktoś się w niej zgubi i chce się jakoś wydostać. Nie dość, że nie wiadomo, w jakim kierunku iść, to w ogóle ciężko jest nam pokonywać przeszkody (a rozwiązania siłowe, takie jak maczeta, niewiele dają). Istnieje następujące zalecenie: wystarczy znaleźć strumień (co zresztą wcale nie musi być łatwe), a potem liczyć na to, że zaprowadzi nas on do większej rzeki, a ta, być może, do morza.

W tym kąciku zajmiemy się pewnym zadaniem o czworościanie foremnym, o którym, między innymi, miałem okazję opowiadać na XLVI Szkole Matematyki Poglądowej pod hasłem Podejście niestandardowe.

W tym odcinku przyjrzymy się kątom dwuściennym. Jedną z najbardziej skutecznych metod radzenia sobie z nimi jest przeformułowanie problemu tak, żeby zamiast kątów dwuściennych pojawiły się kąty płaskie.

Tym razem opowiemy o kątach w przestrzeni, a dokładniej o tym, jak rozwiązywać zadania zawierające nierówności miar kątów w przestrzeni. W zadaniach pojawiają się dwa typy kątów – płaskie i dwuścienne. Ten odcinek poświęcimy kątom płaskim, a o dwuściennych opowiemy następnym razem.

Czasami, gdy zbytnio bujamy w obłokach, słyszymy od innych zejdź na ziemię! Kto by pomyślał, że ta zazwyczaj dość nieprzyjemna uwaga może być niekiedy cenną wskazówką do zadań ze stereometrii.

Tym razem, zgodnie z obietnicą, kącik poświęcimy czworościanom ortocentrycznym. Jak wiadomo, nie w każdym czworościanie istnieje punkt przecięcia wszystkich wysokości. Czworościany mające taki punkt nazywane są ortocentrycznymi. Spróbujmy opisać je dokładniej.

Piąty kącik poświęcimy prostopadłości prostych i płaszczyzn...