Delta mi!

Niektóre wielościany są dość dziwne. Intuicja podpowiada, że nie powinny istnieć, a jednak istnieją. Czasem błędne przeczucia wynikają z nazbyt pochopnych uogólnień geometrii płaskiej na przestrzenną, czasem zaś z faktu, że świat wielościanów jest bogatszy, niż się na pierwszy rzut oka wydaje.

Tym razem o twierdzeniu Pascala...

Powierzchnię pewnego wielościanu rozcięto (niekoniecznie wzdłuż krawędzi) i rozłożono, otrzymując płaski wielokąt o kształcie krzyża. Czy wyjściowy wielościan musiał być sześcianem?

Wiele wzorów na sumy kolejnych liczb naturalnych, ich kwadratów, sześcianów itp. można uzasadnić (lub przynajmniej przekonująco zilustrować) na rysunkach. Często rysunki te wymagają niewiele lub nawet zero komentarza – są to tzw. dowody bez słów...

W deltoidzie 7/2013 wykazaliśmy, że odcinek nie jest przeliczalny, posługując się tzw. metodą przekątniową Cantora. Tym razem udowodnimy ten sam fakt, wykorzystując pewną dwuosobową grę, której „planszą” jest zbiór 

Czasem jeden rysunek pozwala dowieść tak wiele...

Wzór Herona  pozwala wyznaczyć pole trójkąta w zależności od długości jego boków (  to połowa obwodu). Czy da się go uogólnić, na przykład dla objętości czworościanu lub pola czworokąta?

Postawmy czworościan na krawędzi i przez każdą jego krawędź poprowadźmy płaszczyznę równoległą do przeciwległej krawędzi. Takich sześć płaszczyzn wyznacza równoległościan opisany na czworościanie.

Jakie warunki spełniać muszą trzy kąty płaskie, aby można było z nich zbudować wypukły kąt trójścienny, czyli przestrzenne naroże o trzech krawędziach?

W wielu zadaniach geometrycznych należy wykazać, że z pewnych trzech odcinków można zbudować trójkąt. Rozwiązania są zazwyczaj jednego z dwóch rodzajów...

Udowodnimy kilka ewidentnych bzdur, na przykład istnienie okręgu o dwóch środkach czy równość  Zachęcam Czytelników do samodzielnego odszukania błędów w tych dowodach przed lekturą zamieszczonych na końcu wyjaśnień.

Ile wierzchołków, krawędzi, ścian dwuwymiarowych, trójwymiarowych etc. ma -wymiarowy sześcian?

Czy dwa identyczne rysunki mogą się przydać w jednym zadaniu? Mogą, na przykład gdy drugi jest obrazem pierwszego po pewnej, sprytnie dobranej inwersji...

Czy nieskończoność jest tylko jedna? Nie, istnieją różne, większe i mniejsze!

Tematem poprzedniego deltoidu była inwersja na płaszczyźnie. Analogicznie przekształcenie zdefiniować można w przestrzeni...

Tym razem o inwersji – przekształceniu określanym czasem jako symetria względem okręgu.

Geometria analityczna kojarzona bywa z dużą ilością rachunków, takie rozwiązania często są długie i pracochłonne. Oto kilka przykładów, że nie zawsze jest tak źle.

Rozważmy szachownicę  Policzmy dwoma niezależnymi sposobami, ile jest na niej prostokątów o bokach wzdłuż linii podziału na kratki.

Gdzie na płaszczyźnie znajdują się punkty, których stosunek odległości do dwóch ustalonych punktów  i  równy jest danej dodatniej stałej

Pewnego grudniowego wieczoru Genowefa zaproponowała swojej siostrze Zenobii...

W wielu problemach matematycznych warto rozważać elementy ekstremalne – największe, najkrótsze, najbliższe... Metoda ta bywa często przydatna w zadaniach dotyczących punktów płaszczyzny lub grafów, czyli punktów łączonych liniami.

Którędy przebiega najkrótsza droga lotnicza z Warszawy do Vancouveru? Wbrew pozorom – mimo podobnej szerokości geograficznej – wcale nie wzdłuż równoleżnika, a nad Grenlandią, o czym łatwo się przekonać, naciągając nitkę na globusie.

Ortocentrum trójkąta to punkt przecięcia jego wysokości. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach 1 i 2 oraz założenie, że trójkąt  jest ostrokątny.

Strategia wygrywająca w grze to taki „przepis” na nią, który pozwala zawsze wygrać, niezależnie od ruchów przeciwnika. Wiadomo, że w wielu grach któryś z graczy (rozpoczynający lub drugi) ma taką strategię, często nawet można ją konkretnie wskazać. W niektórych przypadkach jest ona właściwie w zasięgu ręki, trzeba tylko ją dostrzec, co nie zawsze jest łatwe.

Niektóre gry mogą wydawać się trudne, dopóki gracz się nie dowie, o co tak naprawdę w nich chodzi – wtedy nagle te same gry okazują się łatwe, czasem wręcz oczywiste...

Kryptografia wizualna to metoda komputerowego szyfrowania obrazów, w której do rozszyfrowania wystarczy... popatrzeć. Konkretniej, z obrazu, który chcemy zaszyfrować („obrazem” może być też napisany na kartce tekst), tworzymy dwa „pstrokate” obrazy, z których nic nie można odczytać.

Poprzedni deltoid poświęcony był osiom potęgowym, między innymi twierdzeniu, które w skrócie brzmi tak: osie potęgowe trzech okręgów przecinają się w jednym punkcie. Ciekawym jego zastosowaniem jest dowód twierdzenia Brianchona.

Nieco więcej o potędze punktu względem okręgu.

Niektóre nierówności, pozornie niezwiązane z geometrią, można zaskakująco łatwo udowodnić, wykorzystując twierdzenie Pitagorasa i prosty geometryczny fakt, że najkrótszą łamaną pomiędzy dwoma punktami jest łączący je odcinek.

Tematem poprzedniego deltoidu był środek ciężkości i związane z nim zadania. W tym numerze pora na zastosowania środka ciężkości w problemach pozornie z nim niezwiązanych. Na marginesie przypominamy podstawowe fakty.

Środek ciężkości to – intuicyjnie – taki punkt, w którym trzeba coś podeprzeć, by owo coś utrzymało się w równowadze. Można go własnoręcznie poszukać na przykład dla długopisu, balansując nim poziomo na palcu.

Najpopularniejszy wzór na pole trójkąta to jedna druga podstawa razy wysokość. Proste wnioski z tego wzoru pozwalają rozwiązać niełatwe czasem zadania.

W poprzednim deltoidzie zaprezentowano kilka zadań z geometrii płaskiej, rozwiązanych poprzez „wyjście w przestrzeń”. Oto garść kolejnych przykładów na to, że warto płaskie rysunki postrzegać jako ilustracje sytuacji trójwymiarowych.

Niektóre zadania z geometrii płaskiej łatwiej najpierw rozwiązać w przestrzeni, a później dopiero z powrotem je „spłaszczyć”. Liczne przykłady pojawiły się w  deltoidach 17 i 18. Oto jeszcze dwa tego rodzaju problemy.

Niektóre sumy nieskończone można zilustrować, tworząc nieskończony rysunek, którego pewna część jest podobna do całości. Na przykład na rysunku taką częścią jest jego prawa górna ćwiartka, a także prawa górna ćwiartka tej ćwiartki itd.

W niektórych zadaniach geometrycznych (i nie tylko) warto dobrze coś ustawić, aby łatwiej rozwiązać problem. Poniżej podaję szereg tego rodzaju przykładów.

Ktoś mi kiedyś powiedział o zadaniach geometrycznych: Jeśli nie wiesz, co zrobić, narysuj równoległobok! Jakkolwiek żartobliwa i niepoważna może się ta porada wydawać, jednak czasem działa. Oto kilka przykładów.

Na pierwszym etapie tegorocznej Olimpiady Matematycznej pojawiło się poniższe zadanie 1 o numerowaniu krawędzi dwunastościanu. Spośród licznych zadań o podobnej tematyce prezentujemy kilka o dość różnorodnych rozwiązaniach.

W wielu zadaniach dane są trzy punkty, które albo są współliniowe, albo należy to o nich udowodnić. Wygodnym narzędziem bywa wtedy Twierdzenie Menelaosa.

W wielu zadaniach dane są trzy proste, które albo przecinają się w jednym punkcie, albo należy to o nich udowodnić. Wygodnym narzędziem bywa wtedy twierdzenie Cevy.

Powiemy, że dwie bryły są plastelinowo równoważne (w skrócie równoważne), jeśli jedną z nich można otrzymać z drugiej za pomocą rozciągania, ściskania, wyginania itp., ale bez sklejania lub rozrywania.

Zadania ze stereometrii często uważa się za trudne i upraszcza przez „spłaszczanie”: siatki, rzuty, przekroje. . . Czasem warto zdobyć się na odwagę i, przeciwnie, rozwiązywać zadanie płaskie, „wychodząc” w przestrzeń trójwymiarową.

Jednokładności były tematem styczniowego deltoidu. Jak każde przekształcenia, jednokładności można składać. Mimo, że wynik takiego złożenia nie musi być jednokładnością, to jednak jednokładności składają się dobrze.