Rezultaty

Poniżej przedstawiamy rezultaty niektórych zwycięskich prac.

Zbigniew Jelonek, Pewna analogia, 1980
Stożek to zbiór prostych mających wspólny punkt (lub kierunek) i przecinających pewną krzywą stopnia 2; stożek dualny to zbiór płaszczyzn mających wspólny punkt (lub kierunek) i stycznych do pewnej krzywej stopnia 2. Współstożkowość oznacza należenie do tego samego stożka. W pracy podane są analityczne warunki na to, by szóstka prostych (płaszczyzn) była współstożkowa. Wynika z tego wiele geometrycznych faktów, np.: elipsoida jest sferą wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 6 płaszczyzn współstożkowych przechodzących przez jej środek i wycinających z niej przekroje o równych polach.
Jarosław Wróblewski, Wokół kongruencji w pierścieniu liczb algebraicznych całkowitych, 1981
Liczby algebraiczne całkowite to pierwiastki wielomianów $n n−1 x +cn−1x + ⋅⋅⋅+ c1x + c0,$
gdzie $ci$ są całkowite; zbiór tych liczb oznaczmy przez $A.$ Zbiór liczb postaci $√ -- n√ -- |a1p + a2 p +⋅⋅⋅+ an p,$ gdzie $ai$ są całkowite, oznaczmy przez $Q.$ Dla $|a∈ A$ zapiszemy $a ∈ (b1,...,bn) modp,$ gdy $|(a− b1)⋅...$ $⋅⋅⋅⋅(a −bn) ∈ Q.$ Główny wynik pracy to twierdzenie jeśli $a1,a2 ∈A$ oraz $a1 ∈(b1,...,bn) modp$ i $a2 ∈(d1,...,dn) modp,$ to (1) $a1 +a2 ∈ (bi + d j) modp$ ( $bi + d j$ to układ złożony ze wszystkich możliwych sum tej postaci dla $1 ⩽i, j ⩽n$ ); (2) $|a1⋅a2∈ (bi⋅d j) modp$ ; co pociąga za sobą (3) dla dowolnego wielomianu $W(x, y)$ o współczynnikach całkowitych $W(a1,a2) ∈W (bi,d j) modp.$ Wynika z tego wiele konsekwencji, w szczególności np. liczba $√ -- √ -- 1980 √ -- √ -- 1980 |( 6+ 19) + ( 6− 19)$ jest liczbą całkowitą, której ostatnią cyfrą jest 2.
Mariusz Skałba, O pewnym problemie z elementarnej teorii liczb, 1982
W pracy znajduje się ulepszenie dowodu Andrzeja Schinzla twierdzenia, że 7 jest jedyną liczbą pierwszą spełniającą, przy naturalnych $|x$ i $y,$ równanie $p = (2x2 − 1)/7 = 2y2− 1$
(patrz W. Sierpiński, Teoria liczb cz. II) oraz uogólnienie tego faktu, a mianowicie Dla $|i = 1,2$ trójmiany kwadratowe $fi(x)$ mają współczynniki wymierne; $∆i$ to ich wyróżniki, a $|Ai$ to współczynniki przy $|x2.$ Jeśli $∆ 1∆ 2$ jest kwadratem liczby wymiernej oraz $A1∆ 2− A2∆1≠ 0,$ to istnieje co najwyżej skończenie wiele takich liczb pierwszych $|p,$ że $p = f1(x) = f2(y)$ dla pewnych $|x,y$ całkowitych.
Ponadto podany został też algorytm znajdowania wszystkich tych liczb pierwszych.
Michał Wojciechowski, O pewnym rozkładzie figur środkowo symetrycznych, 1984
Praca powstała z okazji zamieszczonego w Wiadomościach Matematycznych t. XXIII.I zadania: Udowodnić, że jeżeli $F$ jest płaską figurą ograniczoną, mającą środek symetrii należący do niej, to nie można jej rozłożyć na dwie rozłączne figury przystające.
Praca zawiera kontrprzykłady, a więc przykłady figur spełniających założenia i dających się rozłożyć na figury przystające, a nawet spełniające dodatkowe warunki, jak spójność czy przeliczalność. W dalszej części pracy jest dowód, że gdy zażądamy, aby części, na które dzielimy, były nie tylko przystające, ale jeszcze środkowo symetryczne, to podział będzie już niemożliwy.
Krzysztof Oleszkiewicz, Skacząc po stożkowych, 1989
Praca poświęcona jest poszukiwaniu punktów kratowych na stożkowych danych równaniami
gdzie $k$ jest ustaloną liczbą całkowitą. Podstawowym spostrzeżeniem jest fakt, że gdy punkt $|(a,b)$ leży na tej stożkowej, to leżą na niej również punkty $|(kb − a,b)$ i $|(a,ka − b),$ co - gdy jeden z punktów jest kratowy - pozwala znajdować dalsze takie punkty. Wszystkie znalezione przez powtarzanie tego spostrzeżenia punkty to trajektoria punktu $|(a,b).$ Uzyskany wynik jest następujący:
- $|$ gdy $k ⩽ 2,$ punkty kratowe istnieją tylko dla $|k = 0$ (jeden, $(0,0)$ ) i dla $k = 1$ (cztery, $(0,1),(1,0), (0,−1),(−1,0)$ ).
- $|$ gdy $k ≀3,$ punkty kratowe istnieją tylko dla $k$ będącego kwadratem liczby naturalnej i wtedy każdy z nich należy do trajektorii pewnego z punktów $√ -- √ -- √ -- √ -- |(0, k),( k,0),(0,− k), (− k,0).$
- $|$ gdy $k ⩽ −3,$ punkty kratowe istnieją tylko dla $k = −5$ ; są to wówczas punkty z wszystkich trajektorii następujących ośmiu punktów $|(1,− 2),(−1,2),(−2,1),(2,−1),(1,−3),(−1,3),$ $|(−3,1),(3,−1).$
Marek Pycia, Pewne nierówności funkcyjne, 1992
Nierówność funkcyjna to problem znalezienia wszystkich funkcji, które spełniają dla wszystkich swoich argumentów daną nierówność. W pracy rozważana była nierówność $α f (s) + β f(t) ⩽ f (as+ bt),$
gdzie $f (0,∞ ) ⟨0,∞ ),$ stałe $α ,β ,a,b$ są dodatnie i $a < 1 < b.$ Było to uogólnienie znanego (od niedawna) wyniku dla $α = a$ i $β = b.$ Podstawowy rezultat pracy to stwierdzenie: jeśli ta nierówność ma rozwiązanie niezerowe, to ma rozwiązanie potęgowe. Pozwoliło to na opisanie klas rozwiązań tej, jak też przeciwnej nierówności.