Delta mi!

Począwszy od Pitagorasa wierzymy, że przyroda działa zgodnie z regułami matematyki. Wobec tego odszukajmy reguły, którymi kierował się siódmaczek (Trientalis) z naszych zagajników, wybierając siedmiokrotną symetrię swoich kwiatów.

W (Z notatnika geniusza) i w tym numerze (Zagnieżdżone pierwiastki) przedstawione są różne zależności liczbowe pochodzące od Ramanujana. Robią ogromne wrażenie, tym bardziej że Ramanujan podał je bez uzasadnień i dla nas mają status natchnionej wizji...

Najdłużej badanym problemem matematycznym była kwadratura koła. Zaraz za nią uplasowała się kwestia piątego postulatu Euklidesa. Chodziło o to, czy zdanie "jeśli dwie proste przecięte trzecią tworzą kąty wewnętrzne jednostronne o sumie mniejszej od dwóch kątów prostych, to proste te po przedłużeniu przetną się i to właśnie z tej strony" spełnia wymagane dla postulatów warunki, czyli czy wyraża rzeczy jasne i oczywiste i czy jest dostatecznie zwięzłe, by być uznane za pierwotną prawdę. Debatę zapoczątkował w V wieku Proklos, odpowiadając dwukrotnie nie i proponując, by wykazać, że usunięcie tego postulatu gmachu geometrii nie naruszy.

Pierwszy etap pitagoreizmu głosił hasło wszystko jest liczbą: pożądaną Harmonię Świata da się wyrazić jako stosunek liczb (dziś nazywanych naturalnymi), przy czym jest ona tym pełniejsza, im liczby te są mniejsze.

Gdy Galileusz trafił na studia (zresztą medyczne), obowiązkowym przedmiotem na pierwszych latach była znajomość (dosłowna!) dzieł Arystotelesa, który wszystko, również problemy kinematyki, objaśniał filozoficznie. Gniewało to Galileusza i postanowił się zemścić. Co ciekawe - udało mu się to zrealizować: wskazał tezę Arystotelesa w oczywisty sposób błędną.

Geometrzy od dawna marzyli o współrzędnych jednorodnych, czyli takich -tkach liczb (dalej dla uproszczenia będzie mowa o parach i trójkach) przyporządkowanych punktom, że gdy wszystkie liczby w -tce pomnożymy przez tę samą liczbę, to nowa -tka będzie współrzędnymi tego samego punktu.

W poprzednim numerze przedstawiliśmy cykl wzajemnie wpisanych trójkątów i dwa wzajemnie wpisane pięciokąty. To było na płaszczyźnie. A teraz będzie przykład wzajemnego wpisania w przestrzeni trójwymiarowej.

W geometrii dyskretnej przyjęło się mówić, że wielokąt jest wpisany w inny wielokąt, gdy ma wierzchołki na prostych zawierających boki tego drugiego wielokąta. Od czasu Hilberta tego zwrotu używa się i w przypadku "zwyczajnej" geometrii.

Na obrazku widać przenumerowanie szesnastu z 17 równo rozmieszczonych punktów na okręgu. Obok "normalnych" czarnych numerków podano dziwnie rozmieszczone czerwone. Zrobiono to w ten sposób, że nawinięto na ten okrąg półprostą, na której zaznaczono punkty odpowiadające kolejnym potęgom 3.

Jeżeli określimy dodawanie i mnożenie punktów płaszczyzny, z wyróżnionymi punktami 0 i 1, w sposób przedstawiony na rysunku, to otrzymamy liczby zespolone...

...z których żadne dwie nie są równoległe, a żadne trzy nie mają punktu wspólnego... tworzą cztery trójkąty - to każdy widzi i nikt się nie dziwi.

Astrofizycy ostatnio twierdzą, że "Wszechświat jest płaski", co w ich żargonie oznacza, iż średnia krzywizna Wszechświata jest równa zeru (i tylko lokalnie jest zakłócana przez grawitację). Jeśli mają rację, to matematyka dowodzi, że Wszechświat przyjmuje jeden z 18 możliwych kształtów.

Każdy zna twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta: jest on równy sumie kątów wewnętrznych do niego nie przyległych (Rys. 1), co bierze się z faktu, że suma kątów przyległych jest równa sumie kątów trójkąta. Z twierdzenia tego wynika nietrudno twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym: kąt wpisany jest równy kąta środkowego opartego na tym samym łuku.

Znam takie zadanie. Jego autorem jest Igor Fiodorowicz Szarygin. Jego treść jest nieskomplikowana: jak szeroki walec można włożyć pomiędzy trzy jednakowe, parami prostopadłe walce?

Dany jest okrąg...

W IV wieku przed naszą erą za sprawą Platona panowało powszechne przekonanie, że sfera niebieska - jako doskonała - dopuszcza jedynie doskonałe ruchy planet, jedynych ruchomych obiektów na niej. Ruchy doskonałe to ruchy jednostajne i odbywające się po doskonałych trajektoriach. Doskonała trajektoria to taka, która może ślizgać się po sobie - na sferze tę własność mają tylko okręgi. Powstawał więc problem, jak wytłumaczyć nieregularności ruchu planet na niebie, a w szczególności powstawanie pętli, o jakich jest mowa w artykule Tomasza Kwasta.

Prawie każdy wielościan ma talię (to wśród nich jest nawet częstsze niż u ludzi!), czyli pewien jego płaski przekrój ma obwód mniejszy od sąsiednich (dokładniej: niewielka zmiana płaszczyzny tnącej daje wielokąt o większym obwodzie - a bardziej po ludzku: nałożona w takim miejscu gumka recepturka nie zsunie się). Dla sześcianu taką talią jest jego przekrój będący sześciokątem foremnym (narysuj ją!).

to nie tylko Konrad Wallenrod, lecz także łamigłówka popularna wśród litewskich drwali. Redakcja Delty ma wystrugane przez jednego z nich sześć drewienek, takich jak na rysunku, z których można złożyć widoczny niżej krzyżak, choć nie jest to zadanie łatwe.

Chciałbym opowiedzieć o najtrudniejszym pojęciu matematyki. Najtrudniejszym, choć intuicyjnie prostym i używanym powszechnie również przez niematematyków. Chodzi o orientację...

Twierdzenie Talesa dowieść można bez trudu...

Udowodnijmy lub obalmy twierdzenie: istnieją takie liczby niewymierne i że jest liczbą wymierną.

Twierdzenie Pascala o równomiernym ciśnieniu gazu na ścianki naczynia pociąga za sobą twierdzenie Pitagorasa i jego uogólnienie, czyli twierdzenie kosinusów.

Podwojenie sześcianu to zadanie: skonstruuj odcinek razy dłuższy od danego...

Cytat z General Relativity Johna Archibalda Wheelera, który został umieszczony u góry marginesu artykułu Michała Bejgera, można przejrzyście zilustrować geometrycznie, gdy zajmiemy się przestrzenią dwuwymiarową.

W 1967 roku szkoła podstawowa wypuściła po raz pierwszy absolwentów ośmioletniej podstawówki (tak, kiedyś też były reformy szkolne). W ogólnym reformatorskim zamieszaniu można było zrobić coś nietypowego, więc Wydział Matematyki i Fizyki Uniwersytetu Warszawskiego uruchomił uniwersyteckie klasy matematyczno-fizyczne w liceum im. Klementa Gottwalda (w latach 1906-50 oraz po 1990 roku Stanisława Staszica) - pretekst był prosty: pierwszym dyrektorem tego liceum był Jan Zydler, znakomity nauczyciel matematyki i autor do dziś niezapomnianych podręczników geometrii.

Gdy w połowie XIX wieku w matematyce pojawiły się dziwne twory, w rodzaju funkcji ciągłych odcinka na odcinek w żadnym przedziale niemonotonicznych, czy zadań mających jednakowo poprawne, choć sprzeczne rozwiązania, jak paradoks Bertranda, potrzeba nadania matematyce jakiegoś jednoznacznego porządku, znalezienia odpowiedzi na pytanie, jak można, a jak nie należy matematyki uprawiać, stała się nagląca.

Gloryfikowany przez nasz hymn Napoleon wystawiał Polaków na ciężkie próby, zdradzając nas i używając do tłumienia powstania na Santo Domingo, czy do podbijania Hiszpanii - znamy to choćby z Popiołów Żeromskiego - ale dziś mamy dla niego kult, jak Rzecki w Lalce Prusa.

Geometrię szkolną nazywamy euklidesową, bo jej pierwsze aksjomaty zostały podane w Elementach Euklidesa (około -300). Wśród nich wyróżniał się aksjomat mówiący o tym, że na płaszczyźnie przez punkt poza prostą można poprowadzić tylko jedną prostą z nią rozłączną. Zasugerowana przez Proklosa (V wiek) możliwość wyprowadzenia tego aksjomatu z pozostałych przez następne 1300 lat drażniła ambicje praktycznie wszystkich matematyków, co owocowało dowodami błędnymi (bo opartymi na przesłankach, które same nie miały dowodów).

Druga połowa XVIII wieku nie pozostawiała złudzeń: Rzeczpospolita upada. Stąd determinacja tych, którzy chcieli ten proces odwrócić. Adam Kazimierz Czartoryski w wieku 29 lat zaczął wydawać gazetę, Monitor (ukazujący się dwa razy w tygodniu!), rok później został marszałkiem Sejmu, a cztery lata później, w 1768 roku - Komendantem Szkoły Rycerskiej. Szkoła ta przez 30 lat istnienia wypuściła 650 absolwentów, takich jak Kościuszko, Pułaski, Kniaziewicz, Zajączek, Sowiński. Mieściła się w Pałacu Kazimierzowskim, gdzie dziś jest Rektorat UW. To miała być kuźnia kadr, które Polskę uratują.

O zadaniu 16. z książki 100 zadań Steinhausa.

Wielościan wypukły, którego ściany są jednakowymi wielokątami foremnymi, może mieć ściany trójkątne, czworokątne lub pięciokątne. Ostatnie dwa przypadki realizują się tylko w postaci sześcianu i dwunastościanu...

Gwiazdka foremna to łamana zamknięta, wpisana w okrąg i złożona z jednakowej długości cięciw, ale niebędąca wielokątem foremnym. Nie trzeba długo się zastanawiać, by stwierdzić, że odcinki takich łamanych muszą się przecinać.

Lecz wy się uczcie patrzeć, a nie gapić - B. Brecht

Zadanie 44 w książce 100 zadań Hugona Steinhausa dotyczy zamkniętych dróg po krawędziach wielościanu foremnego, które przechodzą dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek, czyli złożonych z krawędzi cykli Hamiltona. Chodzi o to, aby znaleźć wszystkie kształty takich cykli i policzyć, ile ich jest (z dokładnością do położenia) dla każdego wielościanu foremnego.

W 1641 roku ukazały się Centrobaryca Paula Guldina, a w nich twierdzenie znane dziś jako reguły Guldina...

Niedawno podczas rozmowy z kolegami - młodymi matematykami i fizykami - zorientowałem się, że dla nich informacja o tym, jak wyglądają wszystkie możliwe ruchy obiektu materialnego w trójwymiarowej przestrzeni, jest zaskakująca...

...a pięciokąt foremny można. Obok pokazana jest konstrukcja dziesięciokąta foremnego - kolorowy odcinek ma długość boku dziesięciokąta foremnego wpisanego w większy okrąg, a więc biorąc co drugi z wierzchołków takiego dziesięciokąta, otrzymamy pięciokąt foremny. Konstrukcja jest - jak widać - bardzo prosta. Ma tylko tę wadę, że nie wskazuje, jak konstruować inne wielokąty foremne.

Problem wypełnienia przestrzeni bez luk jednakowymi wielościanami okazuje się wcale nie tak prosty, jak na pierwszy rzut oka można oczekiwać. Spośród pięciu wielościanów platońskich tylko jeden nadaje się do tego. Oczywiście, jest to sześcian...

Kubuś Fatalista, bohater książki Denisa Diderota, spotkał pewnego razu rozpaczliwie płaczące dziecko. Na pytanie, co mu się stało, odpowiedziało, że kazano mu powiedzieć A. Cóż w tym złego? - dopytywał się Kubuś. - Bo jak powiem A, to każą mi powiedzieć B - poskarżył się malec.

Na początek stwierdzenie: w nauce, a zwłaszcza w matematyce, zajmujemy się tylko wyjątkowymi, wyidealizowanymi sytuacjami.

Jaką długość ma linia śrubowa owijająca dwukrotnie walec o promieniu 1 i wysokości 4, tak jak widać na obrazku? Oczywiście, Aby przekonać się, że rzeczywiście, wystarczy spojrzeć na obrazek z prawej - jeśli nawiniemy go na walec, to otrzymamy obrazek z lewej.

Rozpowszechnione jest przeświadczenie, że znaczna część dowodów geometrycznych prowadzonych przez mędrców Złotego Wieku Grecji, a więc czasów po zwycięskich wojnach perskich i kojarzących się nam np. z Peryklesem, wyglądała tak, iż był to rysunek ze słownym komentarzem: Patrz. Niezależnie od podziwu dla intelektualnej estetyki takich dowodów podejrzewamy, że dotyczyły one problemów mało skomplikowanych, rozumowań wymagających jednego kroku myślowego.

Jak wszystkim wiadomo, około -300 roku dyrektor Biblioteki Aleksandryjskiej imieniem Euklides napisał dzieło, które jest znane pod późniejszym łacińskim tytułem Elementy. W dziele tym z następujących pięciu postulatów wyprowadził całą geometrię (tę nauczaną w szkole i zwaną euklidesową) i całą arytmetykę.

Każda ptaszyna swym własnym głosem Pana Boga chwali. Tym przysłowiem odpowiedziałem podczas obrony pracy doktorskiej na pytanie Profesora Andrzeja Mostowskiego, czemu zbudowałem aksjomatykę geometrii eliptycznej, podczas gdy można tę geometrię uprawiać analitycznie (czyli rachunkowo)...

Jeden ze sposobów obliczenia pola odcinka paraboli, czyli ograniczonej spośród części, na jakie dzieli płaszczyznę parabola i jej cięciwa, zaproponowany przez Archimedesa, jest następujący: przez środek cięciwy (nazwijmy ją ) prowadzimy prostą równoległą do osi paraboli i uzyskujemy w przecięciu z parabolą punkt . Pole odcinka paraboli to pola trójkąta Dlaczego tak jest i jak on na to wpadł?

Starożytni Egipcjanie sprzed 4000 lat uznawali tylko ułamki proste, czyli takie, które w liczniku miały jedynkę. Oczywiście, były też inne ułamki, ale o nich uczeni mówić nie chcieli – przedstawiali je jako sumę ułamków prostych. Nie byłoby w tym niczego nadzwyczajnego, gdyby nie pretensjonalne wymaganie, aby w owej sumie każdy ułamek był inny.

Kto by się spodziewał, że prawdziwe jest stwierdzenie: jeśli w sześcianie mieszczą się trzy jednakowe kulki, to zmieści się też czwarta tej samej wielkości!