Udowodnić, że dla różnych liczb dodatnich
i liczby całkowitej
dodatniej
zachodzi nierówność
Rozwiązanie
Równoważnie, mamy do udowodnienia
Przekształcamy lewą stronę:
Każdy składnik tej sumy jest dodatni, ponieważ
wtedy
i tylko wtedy, gdy
Wobec tego całe wyrażenie ma wartość
dodatnią.
Uwaga: Z zadania 590-M z ligi zadaniowej Delty 11(426) 2009 (rozwiązanie w numerze
3(430) 2010) wynika nierówność
Zatem
wielkość
znajduje się między średnimi