Klub 44M - zadania XII 2016»Zadanie 732
o zadaniu...
- Zadanie pochodzi z artykułu Klub 44M - zadania XII 2016
- Publikacja w Delcie: grudzień 2016
- Publikacja elektroniczna: 30 listopada 2016
- Artykuł źródłowy w wersji do druku [application/pdf]: (79 KB)
-
Zadanie 732 zaproponował pan Tomasz Ordowski.
Ciąg liczb naturalnych 
jest określony wzorem rekurencyjnym: 
; wyraz początkowy 
jest liczbą pierwszą. Dowieść, że dla każdego 
różnica 
jest podzielna przez 
(mod 
) - po wprowadzeniu określenia liczby 
i dodaniu stronami jedynki - ma postać
jest pierwsza, więc 
zachodzi dla 
(małe twierdzenie Fermata). Dalej indukcja: przyjmijmy słuszność 
dla pewnego 
; istnieje zatem liczba 
dla której 
Odejmujemy stronami jedynkę i mamy 
Z określenia 
wynika ponadto, że 
(mod 
). Tak więc
z 
zastąpionym przez 
To kończy dowód indukcyjny.