Istnieją takie ciągi. Jedna z możliwych konstrukcji:

Przyjmujemy Będziemy przedłużać zdefiniowany odcinek ciągu, dołączając po dwa wyrazy.

Ustalmy liczbę parzystą i przyjmijmy, że wyrazy są już określone. Najmniejsza dodatnia liczba całkowita, różna od będzie wyrazem (to gwarantuje, że w budowanym ciągu znajdą się wszystkie liczby całkowite dodatnie).

Określamy wyraz wzorem

gdzie jest liczbą całkowitą tak dobraną, by uzyskana liczba była dodatnia oraz różna od liczb i różna od (powstający ciąg będzie więc miał wszystkie wyrazy różne). Przy tym

Wymagane warunki podzielności są spełnione. Indukcyjnie powstaje ciąg nieskończony jakiego szukamy.