O LXVI Olimpiadzie Matematycznej»Zadanie 1
o zadaniu...
- Zadanie pochodzi z artykułu O LXVI Olimpiadzie Matematycznej
- Publikacja w Delcie: kwiecień 2015
- Publikacja elektroniczna: 31-03-2015
Dane są takie liczby całkowite 
i 
różne od zera, że liczba 
jest całkowita. Wykazać, że iloczyn 
jest sześcianem liczby całkowitej.
i 
są niepodzielne przez liczbę pierwszą 
oraz że dla pewnej trójki liczb całkowitych nieujemnych 
zachodzą równości 
i 
(w dalszym ciągu myślę, że zadanie nie jest trudne). Aby wykazać, że iloczyn 
jest sześcianem pewnej liczby całkowitej, wystarczy przecież wykazać, iż każdy czynnik pierwszy występuje w rozkładzie tej liczby z wykładnikiem podzielnym przez 
Mamy 
Mianownik tego ułamka jest podzielny przez liczbę 
i niepodzielny przez 
Zastąpienie uporządkowanej trójki liczb 
trójką 
lub 
powoduje, że liczba 
lub 
- więc ta z treści zadania - ma być całkowita (trójka 
to jednak coś innego, bo na ogół 
). Można więc założyć, że 
Mamy
to 
więc 
występuje w rozkładzie iloczynu 
na czynniki pierwsze z wykładnikiem 
to 
i 
więc dwa z trzech składników licznika dzielą się przez 
a trzeci nie, co oznacza, że liczba 
nie jest całkowita, wbrew założeniu.
to 
i 
więc znów liczba 
nie jest całkowita.
to 
i 
więc znów liczba 
nie jest całkowita.
to 
i 
to teraz dwa składniki nie dzielą się przez 
Ich suma może dzielić się przez 
tylko wtedy, gdy 
więc w tym wypadku liczba 
jest podzielna przez 
jest całkowita, to liczba pierwsza 
wchodzi w rozkład liczby 
na czynniki pierwsze z wykładnikiem podzielnym przez 