Suma wszystkich liczb w zbiorze  wynosi  Suma dwóch liczb z tego zbioru może być dowolną liczbą naturalną od 3 do  Usuwamy dwie – suma liczb, które pozostały, może być dowolną liczbą naturalną od  do  Wystarczy wykazać, że w przedziale  znajduje się jakiś kwadrat liczby naturalnej.

Niech  będzie największą liczbą naturalną, której kwadrat nie przekracza  Wówczas  skąd  czyli  Wystarczy wykazać, że prawa strona ostatniej nierówności jest nie mniejsza niż ; czyli że zachodzi nierówność  Dla  różnica  wynosi kolejno  co daje wartości ; mamy równość  Dla  szacujemy kwadrat liczby :

i dostajemy nierówność  którą chcieliśmy wykazać.